§ 63. Распределения различных величин, связанных с x^(a)(t) в интервале регулярности

До сих пор мы некоторое время имели дело только с аналитическими свойствами феллеровского оператора теперь вернемся к первоначальной задаче. Пусть марковский процесс, происходящий на компактном пространстве и пусть открытое множество из является интервалом регулярности. Иначе говоря, пусть гомеоморфно интервалу действительных чисел и каждая точка является не только точкой диффузии, но и регулярной точкой. Уже было сказано, что существуют каноническая шкала и каноническая мера на такие, что

Так же, как и до сих пор, будем отождествлять точки с точками Обозначим черзз вероятность, выходя из точки X интервала через время прийти в если процесс не покидает . Пусть первый момент выхода из тогда

Далее, если то не принадлежит самому а является одной из точек границы но так как для любого принадлежит и выборочные функции непрерывны, то определено и равно или Пусть равно если в противном случае.

Аналогично для определим Момент — это момент, когда выходит из через конец Будем обозначать через распределение

Вместо того чтобы искать , вычислим их преобразования Лапласа

Цель настоящего параграфа — доказать следующую теорему.

Теорема Пусть обозначают то же, что в предыдущем параграфе, тогда

Здесь, если -регулярная граница, в качестве будем брать решение т. е. такое, что а в качестве — также ядро, построенное по этому решению.

В случае, когда, например, в получается, что т. е. и процесс не достигает Если то и мы имеем это показывает, что есть возможность достижения Следовательно, верна

Теорема 63.2. Есть возможность достигнуть за конечное время регулярной границы и границы-выхода, но граница-вход и естественная граница не достижимы за конечное время.

Проведем доказательство теоремы 63. 1. Сначала выберем интервал и докажем теорему для У. Для У будем использовать обозначения Используя так же, как и раньше, строго марковское свойство, для получаем

Так как функция является решением уравнения то согласно

Аналогично

Следовательно,

С другой стороны, так как удовлетворяет уравнению то, тем более в Так как то, используя результаты предыдущего параграфа, получаем

Так как оба конца являются регулярными границами то имеем

откуда

Поэтому

Сравнивая (63. 10) и получаем

Так как любую непрерывную на функцию можно продолжить до непрерывной функции на всем то (63. 12) выполнено для всех Поэтому

Пусть тогда так как

При. нахождении есть свобода только в выборе постоянного множителя; но этот множитель можно выбрать так, чтобы при они стремились соответственно к Следовательно, и получаем (63.5).

Что касается то устремим следующим образом: сначала а затем тогда из (63. 8), (63.9) легко получаем (63. 6).