§ 56. Локальный инфинитезимальный оператор в обобщенных точках переноса

Открытое подмножество I пространства гомеоморфное открытому множеству действительных чисел, будем кратко называть открытым интервалом Мы говорим, что точка а является концом открытого интервала I пространства если гомеоморфно полуоткрытому интервалу При этом

11 Это рассуждение годно лишь в том случае, когда процесс является локальным во всех точках, так как оператор определен только в точках в которых процесс является локальным. Общий случай можно свести к этому следующим образом.

Рассмотрим интервал содержащийся в I вместе с замыканием. Построим по процессу другой марковский процесс на фазовом пространстве Прежде всего определим переходную функцию . Обозначим через момент первого выхода из и положим

Нужно проверить выполнение свойств Свойства проверяются сразу же; вытекает из непрерывности свойство можно вывести из учитывая, что при момент первого достижения из сходится по вероятности к 0.

Далее положим

Легко видеть, что — марковский процесс с переходной функцией . При этом до момента он совпадает с поэтому оператор для них один и тот же.

Применяя теорему к получаем, что и вытекает Так как 1 произвольно, то верно утверждение теоремы 55. 2. — Прим. перев.

гомеоморфном соответствии а переходит, само собой разумеется,

Пусть а — конец открытого интервала I, состоящего только из точек диффузии. Если для достаточно малой окрестности точки а имеем

то а называется обобщенной точкой переноса. Обобщенная точка переноса является точкой переноса (§ 52) только в случае, когда она является точкой первого порядка.

Как в случае точек переноса, мы различаем левые и правые, в зависимости от направления гомеоморфного отображения окрестности этой точки на интервал действительных чисел, так и в случае обобщенных точек переноса мы говорим об обобщенной точке правого переноса, если рассматривается отображение на и об обобщенной точке левого переноса, если производится отображение на . В дальнейшем мы будем вести изложение для обобщенных точек правого переноса.

Обобщенная точка правого переноса может также оказаться поглощающей точкой; однако так как это слишком простой случай, исключим его. Тогда, выбрав достаточно малую окрестность точки а, можно добиться того, чтобы, кроме (56.1), было выполнено также

Отождествим точки и точки соответствующего интервала Так как близкие к точки находятся в то верхняя грань точек , таких, что содержится в больше, чем

Положим для

тогда Так как с вероятностью при всегда находится в то, воспользовавшись строго марковским свойством для марковского момента получим

Так как является множеством точек диффузии первого порядка, то так же, как в случае регулярных точек (§ 55), можно доказать, что удовлетворяет соотношению

Поэтому мы получаем следующую лемму.

Лемма 56. 1.

Лемма 56.2. Если где V — некоторая окрестность а, и

то для достаточно малого имеем

Доказательство. Так как то для достаточно малого

Следовательно, не может принимать максимум при Поэтому функция в некоторой окрестности является невозрастающей или неубывающей. В первом случае т. е. Это противоречит предположению.

Теорема 56. 1. Если то

Доказательство. Положим тогда функция принадлежит и

Поэтому возрастает справа от и

Следовательно,

откуда

Аналогично