§ 33. Условные средние значения

Условное среднее значение, или условное математическое ожидание, можно определить совершенно аналогично условной вероятности. Пусть -действительная (или комплексная) случайная величина. Предположим, что

Пусть как и в предыдущем параграфе, — -алгебра, являющаяся частью В. Для любого измеримого множества В положим, по определению,

Условное среднее значение случайной величины у относительно определяется как функцня от , удовлетворяющая следующим условиям:

измерима относительно имеем

То, что такая функция обязательно существует и определяется однозначно, за исключением -меры О, можно доказать так же, как в случае условной вероятности, используя теорему Радона-Никодима.

Если характеристическая функция множества А, то совпадает с поэтому условную вероятность можно рассматривать как частный случай условного среднего значения. Теперь изложим свойства условных средних; из них легко могут быть выведены свойства условных вероятностей.

(I) Если измеримо относительно то

В случае, когда -характеристическая функция множества для имеем

Так как функция измерима относительно то имеем

Так как обе части формулы (33.3) линейны по можно показать, что (33. 3) выполнено для любого

Если то, разумеется, поэтому

Поэтому выполнено соотношение (33.4).

(III) Если константы, то

Замечание 1. Приводимые выше соотношения выполняются везде, за исключением множества -меры 0.

Замечание 2. Если — любой случайный вектор, то можно определить так же, как