2.2. СПЕКТРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

При изучении различных преобразований детерминированных непериодических сигналов, в частности, прохождения их через линейные цепи широко используется спектральное представление с помощью преобразования Фурье. Напомним, что преобразованием Фурье от является комплексная функция от частоты обозначаемая обычно или и равная

если этот интеграл существует.

При изучении случайных сигналов и помех желательно определить спектр, характеризующий не отдельную выборочную функцию, а весь ансамбль в целом. При попытке применить преобразование Фурье (2.32) к случайным процессам возникают различные препятствия, а именно:

1. Как известно, для существования интеграла (2.32) необходимо, чтобы функция была абсолютно интегрируема или хотя бы интегрируема в квадрате. Последнее означает, что интеграл

должен сходиться. Заметим, что интеграл (2.33) представляет собой энергию сигнала (при обычном предположении, что через единичное сопротивление проходит ток или к нему приложено напряжение Таким образом, преобразование Фурье

существует для сигналов с конечной энергией. Но в наиболее интересном случае стационарных эргодических процессов каждая выборочная функция с вероятностью 1 имеет бесконечную энергию. Это следует из того, что такой процесс имеет положительную среднюю мощность, равную его дисперсии, а задан он на бесконечной оси времени. Следовательно, преобразование (2.32) для него не существует.

2. Для тех процессов, которые имеют конечную энергию (а это нестационарные процессы), можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Это вызвано тем, что каждая ее реализация является индивидуальной характеристикой одной конкретной реализации и из нее трудно извлечь данные, характеризующие все множество.

Выход из этих затруднений заключается в отбрасывании некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот.

Построение такой функции проведем сначала для процессов с конечной энергией, для которых существует случайная спектральная плотность Каждая ее реализация соответствует реализации и для них, согласно теореме Парсеваля,

Функция характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот. Назовем ее спектральной плотностью энергии реализации.

Усреднив эту функцию по всем реализациям, получим спектральную плотность энергии процесса:

Отметим некоторые свойства спектральной плотности энергии. Из ее определения следует, что она неотрицательна. Кривая, изображающая эту функцию, охватывает площадь, равную математическому ожиданию энергии процесса. Она определена на бесконечной осн, т. е. как для положительных, так и для отрицательных частот. Как известно, из теории преобразования Фурье, Для действительной функции модуль является четной функцией частоты. Поэтому о спектральном распределении энергии процесса можно судить и по одной половине графика функции (2.36), например при .

Перейдем теперь к стационарному центрированному процессу реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Определим усеченный процесс следующим образом:

Усеченный процесс имеет конечную энергию, а следовательно, и спектральную плотность энергии

Разделив спектральную плотность энергии процесса на его длительность получим спектральную плотность его мощности

Теперь можно устремить интервал к бесконечности и определить спектральную плотность мощности (СПМ) стационарного процесса:

Легко убедиться, что неотрицательная четная функция, ограничивающая (вместе с осью абсцисс) площадь, равную мощности

Напомним, что для центрированных эргодпческих процессов мощность совпадает с дисперсией.

Во многих случаях удобнее пользоваться односторонней спектральной плотностью мощности, заданной при Множитель 2 обеспечивает равенство

Нормированной спектральной плотностью мощности будем называть отношение Отметим, что для любых процессов с конечной или бесконечной энергией можно определить нормированный энергетический спектр (НЭС) формулой

Для процессов из в (2.41) существуют раздельно пределы числителя (2.36) и знаменателя (2.35), в этом случае представляет нормированную спектральную плотность энергии. Для стационарных процессов пределы числителя и знаменателя порозпь не существуют, но, как легко убедиться, предел их отношения совпадает с Таким образом, нормированный энергетический спектр является универсальной характеристикой сигнала. Он характеризует относительное распределение энергии (пли мощности) процесса в частотной области. Ее график всегда ограничивает площадь, равную 1. В инженерной практике чаще всего под спектром понимают именно нормированный энергетический спектр. Для примера на рис. 2.2 показаны односторонние нормированные энергетические спектры для некоторых ансамблей сигналов.

Рис. 2.2. Односторонние нормированные энергетические спектры некоторых сигналов: а — телефонного; первичного радиовещательного; в — радиотелефонного при амплитудной модуляции (на несущей частоте сосредоточено 70% мощности)

Часто применяют математические модели сигналов, в которых спектр отличен от нуля только на некоторой полосе частот т. е. процессы с финитным спектром. Разность является шириной спектра. В реальных условиях жесткого ограничения спектра не бывает и под шириной спектра понимают ширину минимальной полосы частот, на которой сосредоточена подавляющая часть (обычно 95%) мощности (или энергии) сигнала, как показано на рис. 2.2.

Спектральную плотность мощности стационарного случайного процесса можно определить по его корреляционной функции на основании следующей теоремы Хинчина-Винера:

Спектральная плотность мощности центрированного стационарного случайного процесса является преобразованием Фурье от корреляционной функции

Доказательство этой теоремы можно найти в [12]. Заметим, что преобразование Фурье от существует, строго говоря, если эта корреляционная функция абсолютно интегрируема и это ее свойство используется при доказательстве теоремы. Однако теорему Хинчина — Винера можно успешно применять и в тех случаях, когда не удовлетворяет свойству абсолютной интегрируемости, если допустить, что выражаются через обобщенные функции. Так, например, ФК процесса (2.6), если имеет равномерное распределение на интервале равна является абсолютно интегрируемой. Однако преобразование Фурье имеет физический смысл. Это линейчатый спектр, сосредоточенный на частотах

Отмстим несколько следствий теоремы Хинчина-Винера. Следствие 1. Из теории преобразования Фурье следует справедливость обратного преобразования

Следствие 2. Значение на нулевой частоте равно интегралу корреляционной функции. Для доказательства достаточно положить в

Следствие 3. Так как -неотрицательная функция, то из (2.42) следует, что корреляционными функциями случайных процессов могут быть только такие, которые имеют положительное преобразование Фурье. В частности, например, функция

изображаемая на графике прямоугольником, не может быть корреляционной. Функции, имеющие положительное преобразование Фурье, называются положительно определенными.

Формулы (2.42) и (2.43) можно записать более компактно, если учесть, что так же как и являются четными функциями:

Совершенно аналогично можно получить связь между нормированной функцией корреляции и нормированным энергетическим спектром

или для одностороннего спектра

Рассмотрим несколько полезных примеров.

1. Найдем ФК и СПМ «случайного синхронного телеграфного сигнала». Под этим понимается центрированный случайный процесс, принимающий с равной вероятностью значения +1 и —1, причем смена значения может происходить только в моменты времени, разделенные промежутком Т (тактовым интервалом). Значения на разных тактовых интервалах независимы. Пример реализации такого процесса приведен на рис. 2.3. Заметим, что границы тактовых интервалов у разных реализаций не совпадают, так что любой момент времени на интервале может с равной вероятностью оказаться моментом начала такта.

Рис. 2.3. Реализация синхронного телепрафного сигнала

Рис. 2.4. Функция корреляции спектральная плотность мощности (б) синхронного телеграфного сигнала

Для определения ФК рассмотрим два сечения в моменты обозначим через и найдем математическое ожидание произведения Если то эти сечения принадлежат разным тактовым интервалам и наше произведение может с равной вероятностью принимать значения и —1, так что его математическое ожидание равно нулю. Если же то возможны два случая: случай А, когда они принадлежат одному интервалу и, следовательно, и случай В, когда они принадлежат разным интервалам и может с равной вероятностью равняться +1 и —1. Поэтому при математическое ожидание равно вероятности того, что оба сечения оказались в одном интервале. Легко сообразить, что случай А имеет место, если первое из двух сечений отстоит от начала тактового интервала не более чем на а вероятность этого равна Итак,

Так как В зависит только от разности то процесс стационарный. График функции корреляции представлен на рис. 2.4а.

Спектральную плотность мощности сиихронпого телеграфного сигнала вычислим по формуле

Полученная спектральная плотность показана на рис. 2.46. Заметим, что дисперсия рассмотренного сигнала равна 1, поэтому совпадает с

2. Найдем нормированный энергетический спектр марковского нормального процесса, для которого коэффициент корреляции выражается формулой (2.31). Используя (2.44), находим рис. 2.5 изображены графики функций

Рис. 2.5. Коэффициент корреляции (а) и нормированный энергетический спектр (б) марковского гауссовского процесса

3. Пусть центрированный стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Найдем спектральную плотность мощности процесса где случайная величина, не зависящая от X и равномерно распределенная на интервале от 0 до Такая задача часто встречается при изучении модуляции, когда несущая частота, модулирующий первичный сигиал.

Легко убедиться, что процесс также центрированный. Начнем с отыскания функции корреляции

Так как математическое ожидаиие произведения независимых величин равно произведению их математических ожиданий, получим

Окончательно:

Поскольку стационарный процесс и где то и оказывается стационарным и

Его спектральная плотность мощности (двусторонняя)

Иллюстрацией полученного результата является рис. 2.6. Спектр состоит из двух боковых полос.

Рис. 2.6. Преобразование спектральной плотности при умножении процесса на гармонический сигнал

Следует отметить, что если бы величина не была случайной или ее распределение вероятностей было несимметричным, процесс не был стационарным.

4. Стационарный процесс с равномерной спектральной плотностью мощности в некоторой полосе частот называют квазибелым шумом, по аналогии с белым светом, т. е. электромагнитными волнами, имеющими равномерный спектр в области видимых частот. Пусть

Найдем его корреляционную функцию (рис. 2.7):

Рис. 2.7. Функция корреляции низкочастотного квазибелого шума

Следует обратить вниманйе на то, что при значениях кратных Таким образом, сечения процесса, разделенные интервалом целое число), не коррелированы между собой.

Если беспредельно увеличивать граничную частоту придем к процессу, у которого любые два несовпадающих сечения не коррелированы. Такой процесс называется белым шумом. Его спектральная плотность постоянна на всех частотах, а ФК равна

где односторонняя спектральная плотность белого шума, которую называют также интенсивностью шума.

Белый шум представляет собой не реальный физический процесс, а математическую идеализацию, весьма полезную и широко применяемую. Его дисперсия На практике приходится часто встречаться с процессами, имеющими равномерную спектральную плотность в весьма широкой полосе частот, более широкой, чем полосы пропускания цепей, на которые они воздействуют. Типичным примером является тепловой шум (1.9), имеющий спектральную плотность, которая практически равномерна для частот что при температуре составляет 6-1012 Гц. В большинстве случаев замена такого шума идеализированным белым не приводит к погрешности. Белый шум часто используют для определения других случайных процессов. Так, марковский процесс можно задать уравнением (2.16), где белый шум.

Если выделить из белого шума полосу частот (например, пропустив его через идеальный полосовой фильтр), то мощность шума на выходе будет, очевидно, равна

В некоторых случаях удобно пользоваться идеализированным нестационарным процессом с где некоторая функция времени. Такой процесс называют нестационарным белым шумом.

5. Найдем функцию корреляции высокочастотного квазибелого шума, у которого

где

Рис. 2.8. Функция корреляции высокочастотного квазибелого шума

Заметим, что полученная корреляционная функция имеет осциллирующий характер благодаря множителю Это свойственно всем процессам с относительно узкополосным спектром, ширина которого значительно меньше средней частоты Аналогичный характер функции корреляций был получен, в примере 3 [см. (2.45)]. Из (2.50) видно, что сечения высокочастотного квазибелого шума коррелированы между собой, интервал между ними х кратен а также если где целое число.

Рассматривая приведенные выше примеры, нетрудно усмотреть, что увеличение интервала корреляции приводит к сокращению ширины спектра и наоборот. Это является проявлением общего свойства любой пары функций, связанных между собой преобразованием Фурье.