6.10. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В теории оптимального приема В. А. Котельникова в качестве модели сообщения рассматривались либо случайная равномерно распределенная

величина (при оценке непрерывного параметра), лнбо стационарный случайный процесс с ограниченным спектром (при оценке непрерывных колебаний). Такие модели представляют собой сильную идеализацию реальных сообщений [16].

В работах Стратоновнча, В. И. Тихонова и других развита теориям в которой широко используются другие модели сообщений. В настоящее время эта теория, получившая название теории нелинейной фильтрации, наиболее разработана для двух случаев: 1) когда передаваемое сообщение является нормальным случайным процессом и 2) когда сообщение представляет собой марковский процесс. Мы остановимся лишь на теории фильтрации одномерных марковских гауссовских процессов.

Реальные сообщения можно приближенно моделировать марковским процессом, который описывается следующим стохастическим дифференциальны» уравнением;

где стационарный белый шум с известными статистическими характеристиками:

Здесь и а — известные постоянные коэффициенты. Такое сообщение уже рассматривали в § 6.2 при обсуждении фильтра Калмана. Различие заключается лишь в том, что теперь рассматривается не непосредственная редача сообщения по гауссовскому каналу, а передача модулированного сигнала

Не нарушая общности, можно положить . Тогда будет нормированным безразмерным процессом с единичной дисперсией (мощностью), а изменения глубины модуляции того или иного параметра скажутся лишь на коэффициенте (индексе) модуляции.

Поскольку процесс, описываемый стохастическим уравнением (6.113), является марковским (диффузионным), изменения во времени его плотности вероятности определяются уравнением Колмогорова — Фокера — Планка (2.30), которое в данном случае имеет вид

Принимаемое колебание на некотором интервале представляв» собой сумму сигнала зависящего от передаваемого сообщения и стационарного белого шума

Предполагается, что характеристики шума известны:

Для большей общности будем рассматривать передачу сигнала в канале с флуктуирующей фазой которую будем представлять нестационарным! марковским процессом с незавнснмымн приращениями, описываемым дифференциальным уравнением

где центрированный белый шум с корреляционной функцией Все белые шумы, фигурирующие в данной задаче, взаимно независимы.

Располагая этими априорными данными, нужно найти устройство, которое бы с нанлучшей точностью воспроизводило изменяющееся во времени случайное колебание Вся доступная информация о передаваемом сообщении содержится в апостериорной плотности вероятности Поэтому первый этап решения задачи состоит в определении этой апостериорной плотности вероятности с учетом результата наблюдения принятой реализации в предшествующий промежуток времени. В работах Стратоновича показано, что апостериорная плотность вероятности реализации в конечный момент времени наблюдения определяется следующим нелинейным дифференциальным уравнением относительно апостериорной плотности вероятности [15]:

Здесь коэффициенты сноса и диффузии; производная по времени от логарифма функции правдоподобия:

Уравнение (6.118) определяет полную процедуру фильтрации сообщения на фоне белого шума. Оптимальное приемное устройство должно моделировать уравнение (6.118) и определять оценку соответствующую максимуму апостериорной вероятности. В общем случае аналитическое решение этого уравнения оказывается трудной задачей. Схемы оптимального приемника при этом получаются весьма сложными. Для получения более простых схем оптимальных устройств целесообразно использовать приближенные решения. При достаточно больших отношениях снгнал/шум и большом времени наблюдения есть основания считать, что апостериорная плотность вероятности будет приближенно нормальной:

Такую аппроксимацию в теории иелниейной фильтрации принято называть гауссовским приближением, а получающийся при этом алгоритм обработки колебания квазноптнмальным. Решение задачи в этом случае существенно упрощается, так как апостериорная плотность вероятности (6.110) определяется всего двумя параметрами: средним значением определяющим оптимальную оценку передаваемого сообщения и дисперсией характеризующей ошибку фильтрации.

Если считать коэффициент сноса линейной функцией а коэффициент диффузии то после подстановки (6.120) в (6.118) и несложных вычислений получим для определения систему из двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:

Таким образом, эадача оптимальной фильтрации и гауссовом приближении сводится к совместному решению или моделированию уравнений (6.121). Система, моделирующая эти уравнения (нелинейный фильтр), будет воспроизводить переданное сообщение с минимальной среднеквадратнческой ошибкой (по крайней мере, в случае слабых помех, когда оправдано гауссово приближение)

Для марковского гауссовского процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (6.113),

уравнения (6.121) запишутся так:

Еслн сигнал линейно зависит от передаваемого сообщения то уравнения (6.122) вырождаются в уравнения (6.27), (6.32), описывающие линейный оптимальный фильтр Калмана.

Рассмотренная теория нелинейной фильтрации может быть обобщена и на случай, когда передаваемое сообщение описывается негауссовскнм марковским процессом. В этом случае вместо уравнения (6.113) фигурирует нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение.

Другим обобщением является передача сигнала, модулированного сообщением В (0, которое можно аппроксимировать компонентой многомерного марковского процесса (см. сноску на с. 204).

В качестве примера рассмотрим применение теории нелинейной фильтрации для синтеза оптимальных приемников в системах с фазовой и частотной модуляцией.

Сигнал при фазовой модуляции имеет вид

где априорно известные значения амплитуды и частоты; индекс фазовой модуляции; -процесс, описывающий флуктуацию начальной фазы; положим нормированным марковским гауссовским процессом.

Для нахождения уравнения оценки найдем функцию ;

Запишем уравнение оценки, полагая вначале, что флуктуации начальной фазы отсутствуют: Подставляя (6.123) в (6,122), получим

где

Построим функциональную схему фильтра, выделяющего из реализации входного колебания оптимальную оценку Для этого обозначим

и перепишем (6.125) в таком виде:

Легко убедиться, что если подать напряжение на интегрирующую цепь например, рис. 3.8), где то напряжение на конденсаторе будет равно

Для того чтобы сформировать напряжение достаточно иметь автогенератор на частоту «во, модулируемый по фазе сигналом с индексом модуляции и перемножнтель, осуществляющий умножение напряжения автогенератора на входное колебание Амплитуда автогенератора равна

Что касается коэффициента к, то он определяется путем решения нелинейного дифференциального уравнения, аналогичного уравнению Рнккатн (6.32). В данном случае для установившегося режима

Таким образом, получается один возможных вариантов схемы для получения оптимальной оценки изображенный на рис. 6.15.

Рис. 6.15. Структурная схема оптимального приемника ФМ сигнала с постоянной фазой

Рис. 6.16. Структурная схема оптимального приемника ФМ сигнала с блуждающей фазой

Здесь ПГ - подстраиваемый генератор, фаза которого модулируется с помощью управляющего элемента Это не что иное, как схема автоподстройкн фазы автогенератора по входному колебанию Благодаря этому она обладает в известной степени свойствами саморегулирования, в частности, она мало чувствительна к точности установки начальной фазы автогенератора и его амплитуды. Однако если начальная фаза подвержена значительным (по величине и скорости) флуктуациям, схема рис. 6.15 становится далеко не оптимальной.

Для того чтобы исследовать случай с «блуждающей» фазой подчиняющейся уравнению (6.117), учтем, что теперь в Теперь можно записать уравнение (6.122) для совместной оценки

где коэффициент, пропорциональный апостериорной дисперсии оценки фазы, определяемый дифференциальным уравнением, которое здесь не приводится. Отметим лишь, что он зависит от спектральной плотности белого шума входящей в определение процесса а также от спектральной плотности аддитивного шума

В этом случае в схеме фильтра на фазовый модулятор поступает помимо оценки сообщения также оценка флуктуирующей начальной фазы (рис. 6.16).

При частотной модуляции в

В остальном характер всех соотношений сохраняется. Схемы оптимального нелинейного фильтра по структуре такие же, как и для фазовой модуляции, — рис. 6.15 (при постоянной начальной фазе) и рис. 6.16 (при флуктуирующем начальной фазе). Отлнчне заключается в том, что в подстраиваемом генераторе модулируется не фаза, а частота. Несколько отличаются также коэффициенты уснлення. Эти фильтры представляют собой схемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Заметим, что они аналогичны схеме рис. 6.9.

Аналогично определяются схемы оптимальной нелинейной фильтрации для других видов модуляции и для более сложных каналов. Так, например, для ЧМ в канале с рэлеевскнмн замираниями снитезнрован фильтр, основой которого является схема рис. 6.16, но с добавлением цепи автоматической регулировки усиления (АРУ), работающей так, что осуществляются подавление «слабого» сигнала и большое усиление сильного. Расчет показывает, что средняя ошибка фильтрации при этом оказывается такой же, как и в отсутствие замираний.