4.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Рассмотрим сначала уже упоминавшийся и широко распространенный критерий Котельникова, или идеального наблюдателя, согласно которому качество демодулятора оценивается безусловной вероятностью правильного приема символа.

Будем вначале полагать, что пространство передаваемых и принимаемых сигналов является конечномерным евклидовым. Это может быть, например, пространство финитных сигналов, представляемых конечной тригонометрической суммой. В дальнейшем это ограничение будет отброшено.

В -мерном пространстве случайный сигнал характеризуется -мерной плотностью вероятностей вектора Ее можно рассматривать как плотность вероятности коэффициентов разложения по любому ортонормированному базису. Если передается некоторый символ т. е. посылается сигнал то можно определить условную -мерную плотность вероятности

Пусть на вход демодулятора в течение тактового интервала приходит некоторый элемент сигнала Предположим, что демодулятор принимает при этом решение, что передан символ Вероятность того, что это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности того, что действительно передавался символ при условии прихода реализации элемента сигнала Ее называют обычно апостериорной вероятностью символа (т. е. вероятностью, определенной после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала

Очевидно, что вероятность правильного приема будет максимальной в такой решающей схеме, которая относит всякую реализацию элемента приходящего сигнала к той области для

которой апостериорная вероятность максимальна. Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности — решение принимается в том случае, если выполняется система из неравенств:

Для сокращения запишем это правило в такой форме:

Согласно известной формуле Байеса

где — априорная вероятность передачи символа (т. е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (4.4) в (4.2) и (4.3) и учитывая, что — безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией можно записать правило решения по критерию идеального наблюдателя в следующей форме:

или сокращенно

Для построения такой решающей схемы необходимо знать априорные вероятности символов а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности

Правило (4.6) можно записать иначе — решение о том, что передавался символ должно приниматься, если для всех выполняется неравенств:

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез о том, что передавался символ и о том, что передавался символ Его обозначают

В случае, когда все символов передаются равновероятно т. е. правило (4.8) упрощаетейг

Иногда вводят в рассмотрение помимо гипотез о передаче символов еще одну «нулевую» гипотезу о том, что никакой сигнал не передавался, т. е. чистая помеха.

Отношение правдоподобия обычно обозначают просто тогда правило (4.9) можно записать так:

Такое правило максимума правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя только при том условии, что все символы передаются равновероятно.

Как уже отмечалось, критерий идеального наблюдателя не является единственным разумным критерием оптимальности решающей схемы. Дело в том, что во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям. Например, в системе автоматической пожарной сигнализации опаснее не обнаружить сигнал о пожаре, нежели получить ложную тревогу, когда в действительности пожара нет.

Учет последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов) приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Введем некоторые понятия. Еслн при передаче символа принят символ то при имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов и связывать некоторую численную величину, называемую «потерей», обозначив ее Величина «потери» зависит, таким образом, от того, какой символ принят вместо переданного Правильному приему при этом обычно приписывается нулевая «потеря». Значения определяются в каждом конкретном случае важностью правильного приема данного элемента сигнала и величиной опасности различных ошибок.

Так как при передаче символа символы появляются с определенными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины «потери» при передаче конкретного символа Назовем это условное математическое ожидание условным риском:

Интеграл в (4.12) берется по области решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал попал в эту область, еслн передавался символ Усреднив условный риск по всем символам получим величину, называемую средним риском:

Критерии минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска Приемник, работающий по такому критерию, называют байесовским.

Из (4.13) видно, что при использовании этого критерия нужно помимо априорных вероятностей передачи отдельных символов знать и величины потерь Заметим, что если считать все ошибки равноценными при то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приемник совпадает с идеальным приемником Котельникова. В общем же случае в оптимальном байесовском приемнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже — с большими потерями.

Как видно из недостаток, связанный с необходимостью знать априорные вероятности передаваемых символов, присущ и критерию минимального, среднего риска. Кроме того, его применение усложняется трудностью объективного установления значений потерь. Тем не менее этот критерий как обобщение критерия идеального наблюдателя целесообразно использовать, если последствия различных ошибок неравноценны.

Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, особенно типична для радиолокации, когда: приемник, анализируя принимаемое колебание (отраженный сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Как правило, априорная вероятность наличия отраженного от цели сигнала (передачи символа заранее неизвестна. Последствия двух родов ошибок — ложной тревоги (приемник фиксирует, что цель существует, в то время как в действительности ее нет) и пропуска цели (приемник отмечает отсутствие цели, в то время как фактически она имеется) — неравноценны.

В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приема, известным под названием критерия Неймана — Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги обеспечивается минимальная вероятность, пропуска цели

Очевидно, что можно различными способами разбить пространство маемых колебаний на две области: (область решения об отсутствии цели) и наличии так, чтобы вероятность ложной тревоги

равнялась заданной величине. Поскольку в локации символ (отсутствие цели) передается паузой, то -это плотность распределения помехи. Следовательно, вероятность ложной тревоги определяется вероятностными характеристиками помехи и выбором области Но от выбора области зависит и вероятность пропуска цели:

Интегралы в (4.14), (4.15) и в аналогичных других формулах, взятые по векторной переменной, очевидно, -кратные.

Минимизация (4.15) при заданной величине (4.14) достигается, если решение о наличии дели принимается при выполнении неравенства

где X — пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги

Существуют другие критерии качества приема, не требующие знания априорных вероятностей символов.

В технике связи (как и в ряде других систем передачи информации) преимущественное применение находит правило максимального правдоподобия (4.11). В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя. Однако очень часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных, но не одинаковых, априорных вероятностях символов. Конечно, оно не обеспечивает в этих случаях максимума вероятности правильного приема. Изменив решающую схему на схему, построенную по правилу максимальной апостериорной вероятности (4.4), реализующему критерий идеального наблюдателя, можно было бы уменьшить вероятность ошибок. При этом, очевидно, пришлось бы сократить области приема маловероятных символов и расширить области высоковероятных символов. В результате редко передаваемые символы принимались бы менее надежно, нежели часто передаваемые символы. Но редкие символы несут больше информации, чем частые Поэтому переход от правила максимального правдоподобия к правилу максимальной апостериорной вероятности, хотя и уменьшает безусловную вероятность ошибки, может привести к увеличению потери информации при демодуляции. Легко показать, что правило максимального правдоподобия реализует критерий минимума среднего риска (4.13), если положить при при

Заметим также, что для большей части дискретных систем связи различие между правилами максимальной апостериорной вероятности и максимального правдоподобия невелико. Это объясняется тем, что при достаточно эффективном кодировании вероятности передачи символов почти одинаковы.

Вследствие сказанного будем в дальнейшем пользоваться правилом максимального правдоподобия и решающую схему, реализующую правило (4.11), будем условно называть оптимальной.