6.4. НОРМАЛЬНЫЕ И АНОМАЛЬНЫЕ ОШИБКИ

Функцию с учетом (6.44) можно представить в виде суммы двух слагаемых:

действительно передаваемое значение

Функция представляет собой функцию автокорреляции сигнала и называется сигнальной функцией. Функция представляет собой функцию взаимной корреляции между сигналом и шумом. Она образует как бы шумовой фон функции и соответственно функции Существенное различие между сигнальной и шумовой функциями состоит в том, что первая при каждом фиксированном значении X является детерминированной, а вторая — случайной.

Рассмотрим характер этих функций с целью анализа структуры функции а следовательно, и структуры апостериорной вероятности Сигнальную функцию (6.57) можно записать в виде

где энергия сигнала; о

— нормированная корреляционная функция сигнала по передаваемому параметру; приращение параметра к.

Сигнальная функция имеет максимум при равный Форма сигнальной функции определяется нормированной, корреляционной функцией причем

как так и являются симметричными функциями, зависящими лишь от абсолютного значения разности Ширину главного пика сигнальной функции (ширину области высокой корреляции сигнала) можно оценить удвоенной величиной интервала корреляции

Если шкала передаваемого сообщения нормирована то число независимых сигнальных пиков (число разрешимых сигналов) на интервале -АМин будет равно

В многоканальной схеме оптимального приема (см. рис. 6.3) это число и определяет минимально необходимое число каналов.

Шумовая функция как и шум на входе представляет собой случайный процесс с гауссовым распределением. Среднее значение этой функции а дисперсия

Обращает на себя внимание тот факт, что максимальное значение сигнальной функции и дисперсия шумовой функции одинаковы по величине. Более подробное рассмотрение показывает, что корреляционная функция для по форме подобна сигнальной функции

Таким образом, операция образования функции которая имеет место при оптимальном приеме, сопровождается «выравниванием» временных структур сигнала и шума Однако при этом улучшаются амплитудные различия сигнала и шума, ведущие к существенному понижению шумового фона на котором наблюдается сигнал Это и обеспечивает наилучшую фильтрацию сигнала из шума при оптимальном приеме.

В соответствии с изложенным выше, выражение (6.54) для апостериорной плотности вероятности при приеме полностью известных сигналов и можно записать в виде

На рис. 6.5 иллюстрируется характер зависимости апостериорной плотности вероятности до от отношения сигнал/шум На участке вблизи истинного значения параметра апостериорная плотность вероятности определяется в основном функцией тогда как на остальных участках она определяется случайной функцией и состоит из последовательности случайно возникающих выбросов, форма которых

близка к Величина этих «помеховых» выбросов зависит от отношения сигнал/шум на входе приемника. При слабой входной помехе функция имеет большой сигнальный выброс, а шумовые выбросы очень малы.

Если бы помехи в канале вовсе не было, то функция состояла бы только из сигнальной составляющей и ее максимум, соответствующий точному значению параметра можно было бы определить без ошибки. При слабых помехах функция имеет также лишь один значительный выброс, определяемый сигнальной составляющей Однако на него накладывается и шумовая составляющая которая несколько изменяет форму выброса и может сместить его максимум. В результате параметр определяется с ошибкой, которая с вероятностью, близкой к единице, не превышает по абсолютной величине интервала корреляции

Рис. 6.5. Характер зависимости апостериорных распределений для различных значений отношения сигнал/шум

Ошибки, не выходящие из области сигнального пика будем называть нормальными. Увеличение мощности помехи на входе смещает и расширяет сигнальный пик. Кроме этого, растут шумовые выбросы. В результате наибольший из них может быть принят за сигнальный, что приведет к появлению ненормально больших ошибок. Ошибки, превышающие по абсолютной величине значения интервала корреляции называются аномальными. Появление аномальных ошибок приводит к значительному уменьшению верности и является причиной возникновения порога помехоустойчивости в широкополосных системах модуляции (см. § 6.7). Таким образом, в области сильных помех помехоустойчивость передачи непрерывных сообщений определяется вероятностью аномальных ошибок При передаче непрерывного сообщения вероятность аномальной ошибки определяет достоверность оценки параметра, а нормальная ошибка определяет точность (качество) этой оценки.

В соответствии с (6.62) передачу непрерывного параметра можно заменить дискретной передачей взаимно ортогональных

сигналов. Тогда вероятность аномальной ошибки при передаче непрерывных сообщений приближенно можно определить как вероятность ошибки в эквивалентной системе дискретной передачи ортогональных сигналов. Поэтому для расчета остается только воспользоваться соответствующими формулами, полученными в гл. 4. Более точные расчеты ран для различных систем передачи непрерывных сообщений сопряжены с определенными математическими трудностями.

Определим среднюю квадратичную погрешность максимально правдоподобной оценки X при малой интенсивности шума. Из (6.54) видно, что X — это то значение X, при котором принимает наибольшее значение. Здесь полезно привести геометрическую интерпретацию. В пространстве сигналов каждой реализации сигнала при различных X соответствует точка. Если зависит непрерывно от X (что имеет место во всех аналоговых системах связи), то все эти точки образуют некоторую кривую. Принятый сигнал является также точкой в пространстве сигналов, как правило, не лежащей на кривой (рис. 6.6). Максимально правдоподобная оценка X соответствует тому сигналу , который изображается на сигнальной кривой точкой, ближайшей к точке Обозначим где действительно переданный параметр.

Рис. 6.6, Геометрическое представление сигнала и шума

При малой помехе и, следовательно, малом отклонении можно считать отрезок между прямой. Тогда представляет проекцию вектора помехи на эту прямую. Докажем, что где спектральная плотность помехи; длительность сигнала. Для этого разложим случайный вектор помехи (квазибелого шума) в -мерном пространстве на ортогональных составляющих, одной из которых является Очевидно, что все эти составляющие являются нормальными центрированными случайными величинами с одинаковыми дисперсиями Сумма этих дисперсий равна мощности квазибелого шума в полосе частот т. е. откуда

С другой стороны, при малых можно полагать

где погрешность оценки параметра. Отсюда

Здесь усреднение квадрата частной производной производится и по времени и по ансамблю

Из полученного результата видно, что погрешность в оценке параметра зависит от вида функции , т. е. от сущности параметра Чем больше при фиксированной мощности сигнала, тем более помехоустойчива система.

Рассмотрим некоторые виды модуляции при передаче отдельных значений непрерывного параметра Их можно подразделить на линейные и нелинейные, в зависимости от вида функции

Любой линейный вид модуляции можно представить в форме где — некоторые детерминированные функции времени. В этом случае и

где мощность составляющей сигнала ее энергия.

Пусть, например, параметр X меняется от —1 до -1-1, а т. е. (амплитудная модуляция). При этом где энергия сигнала при передаче максимального параметра, и

Более высокую помехоустойчивость можно получить, положив Тогда (балансная модуляция),

Легко видеть, что более высокой помехоустойчивости при линейной модуляции получить нельзя. Величина погрешности оценки не зависит от вида функции Обычно используют гармонический сигнал

Отметим также, что при линейной модуляции сигнальная линия в пространстве сигналов прямая, а равенство (6.65) справедливо для любых а не только для малых. Поэтому полученные результаты для линейной модуляции верны не только при слабых помехах, но и при сильных. Другими словами, при линейной модуляции и оптимальном приеме аномальных ошибок не бывает.

При нелинейной модуляции аномальные ошибки при больших отношениях помехи к сигналу возникают неизбежно, однако при слабых помехах можно получить значительно более высокую помехоустойчивость, чем у линейной модуляции. Приведем два примера.

а) Частотная модуляция. Здесь где максимальное абсолютное отклонение (девиация) частоты. При этом

где мощность сигнала. Отсюда

Выбрав , можно получить помехоустойчивость значительно выше, чем при линейной модуляции. Заметим, что это достигается за счет использования более широкой полосы частот.

б) Времяимпульсная модуляция. Здесь где любой детерминированный импульсный сигнал; максимальное отклонение момента прихода сигнала.

В этом случае и

Помехоустойчивость ВИМ при слабых помехах определяется, таким образом, энергией производной импульса Но ее можно сделать сколь угодно большой, не увеличивая энергии самого импульсного сигнала. Для этого достаточно, например, применить импульс с фронтами, перпендикулярными оси времени. Казалось бы, что таким образом можно полностью избавиться от действия помех. К сожалению, это не так. Чем круче фронты импульса, тем меньше тот уровень помех, при котором возникают аномальные ошибки. Для точно прямоугольного импульса любая помеха является «сильной» и формула (6.66), полученная для слабых помех, неприменима.