6.2. НЕПОСРЕДСТВЕННАЯ ПЕРЕДАЧА СООБЩЕНИИ. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Пусть в канале с аддитивной помехой передается сигнал т. е. совпадающий с первичным сигналом. На выходе капала присутствует сумма сигнала и помехи:

Для выявления передаваемого сообщения нужно из принятой суммы сигнала и шума выделить сигнал Эту операцию называют фильтрацией. В общем случае ее можно выполнить лишь с некоторой погрешностью. Будем оценивать эту погрешность средним квадратичным отклонением оценки сигнала 5 на выходе фильтра в момент от входного сигнала

Здесь некоторое заданное время запаздывания в фильтре, а среднее значение берется по ансамблям сигналов и помех

Будем вначале полагать стационарными взаимно некоррелированными процессами с известными спектральными плотностями В общем случае фильтр, дающий оценку сигнала с минимальной среднеквадратичной погрешностью, оказывается нелинейным. Однако упростим задачу и будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных цепей. В такой форме задачу поставили и решили независимо друг от друга академик Колмогоров и американский ученый Винер, и поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называется фильтром Колмогорова — Винера.

Обозначим искомую передаточную функцию оптимального фильтра

где действительные функции. Если бы передаточной функцией была не а

то сигнал на выходе появлялся бы на время раньше, т. е. не запаздывал бы по сравнению с входным сигналом. Будем сначала отыскивать передаточную функцию оптимального фильтра, дающего оценку сигнала без запаздывания, а затем перейдем к по формуле

Отыщем спектральную плотность погрешности оценки для фильтра без запаздывания. Эта погрешность состоит из двух составляющих. Первая составляющая вызвана теми искажениями, которые претерпевает полезный сигнал, проходя через фильтр с передаточной функцией Она, очевидно, равна напряжению, которое появилось бы на выходе фильтра с передаточной функцией если на его вход подать сигнал. Поэтому спектральная плотность мощности первой составляющей, согласно (3.7), равна Вторая составляющая вызвана прохождением через фильтр помехи и имеет спектральную плотность Обе эти

составляющие между собой не коррелированы, и поэтому полная спектральная плотность погрешности равна их сумме:

Мощность (средний квадрат) погрешности

Задача теперь сводится к выбору таких функций которые обеспечивают минимум полученного интеграла. Что касается то очевидно, что интеграл минимален при т. е. при Если это выполнено, то и

В подынтегральном выражении только первый член зависит от Так как в квадратных скобках величина вещественна, то ее квадрат не может быть отрицательным. Следовательно, наименьшее значение интеграла обеспечивается такой функцией при которой этот квадрат тождественно равен нулю, откуда

При этом среднеквадратичная погрешность оценки (или мощность шума на выходе фильтра) определяется из (6.19) при подстановке (6.20):

Легко заметить, что эта погрешность равна нулю только в том случае, когда спектры сигнала и помехи не пересекаются.

Итак, получено выражение для передаточной функции линейного фильтра, которая обеспечивает оценку сигнала с

минимальной среднеквадратичной погрешностью без задержки. Однако фильтр с такой передаточной функцией физически неосуществим. В этом можно убедиться, если заметить, что действительная функция. Отсюда следует, что ее преобразование Фурье, т. е. импульсная реакция фильтра, будет четной функцией. Следовательно, если она отлична от нуля при положительных то она будет также отлична от нуля и при что для реального фильтра невозможно, так как реакция не может появиться до подачи импульса.

Впрочем, при другой постановке задачи фильтрация с погрешностью (6.21) оказывается вполне возможной. Для этого нужно знать не только прошлые, но и будущие значения Предположим, что наблюдается и записывается в течение всего времени передачи (теоретически для и затем обрабатывается вычислительной машиной с помощью передаточной функции (6.20). Поскольку при обработке известны и «будущие» значения то это вполне осуществимо. Результат выдается в виде графика или таблицы. Примерно таким образом обрабатывались сигналы, принятые с советского искусственного спутника, сфотографировавшего в 1959 г. обратную сторону Луны.

Для техники связи интерес представляют осуществимые фильтры, работающие в реальном масштабе времени, т. е. выдающие оценку путем обработки реализации только до текущего момента времени или, в крайнем случае, до момента времени где небольшая задержка. Именно такой фильтр называют реализуемым. Поскольку в реализуемом фильтре не могут быть использованы значения после момента времени то очевидно, что погрешность его будет больше, чем у нереализуемого фильтра. С увеличением эта погрешность уменьшается.

Остановимся на определении оптимальной передаточной функции реализуемого фильтра при т. е. работающего без задержки. С этой целью попытаемся разложить нереализуемый фильтр (6.20) на несколько фильтров и выделить из него оптимальную реализуемую часть.

Начнем с факторизации знаменателя (6.20), т. е. разложения его на дна комплексно сопряжеппых множителя:

Уравнение (6.22) однозначно определяет модуль Что же касается аргумента, то его можно выбрать произвольно, в частности, так, чтобы все пули и полюса функции комплексной переменной лежали в левой полуплоскости. Как известно, фильтр с такой передаточной функцией является физически реализуемым и к тому же минимально фазовым.

Теперь оптимальный нереализуемый фильтр (6.20) можно представить как последовательное соединение двух фильтров с передаточными функциями Второй из них по-прежнему нереализуем. В частости, у сомножителя все нули и полюса лежат в правой полуплоскости.

Заметим теперь, что первый фильтр является обеляющим для входного колебания Действительно, спектральная плотность процесса на его выходе согласно (3.7) ранна так что на выходе первого фильтра получается белый шум со спектральной плотностью 1. Если бы второй фильтр был реализуем, то под воздействием этого

белого шума он сформировал бы наилучшую оценку сигнала Но он физически нереалнзуем, а это значит, что его импульсная реакция

не равна тождественно нулю при Выразим ее в форме где

Фильтр с импульсной реакцией можно представить в виде параллельного соединения двух фильтров с импульсными реакциями Из них первый, очевидно, реализуем, так как при а второй — нереализуем. В результате исходный нереализуемый фильтр (6.20) представлен в виде соединения трех фильтров, как показано на рис. 6.1, из которых два реализуемы. На вход параллельно включенных фильтров подан белый шум.

Рис. 6.1. К синтезу реализуемого фильтра Винера—Колмогорова

Фильтр вырабатывает ту часть оценки оптимального нереализуемого фильтра, которая определяется прошлыми значениями белого шума, а фильтр В — ту часть, которая определяется будущими значениями. Но так как в белом шуме будущие значения не зависят прошлых, то ту часть, которую должен формировать фильтр В, в принципе, невозможно получить в реализуемом фильтре и наилучшая оценка этой части равна математическому ожиданию, т. е. иулю.

Таким образом, оптимальный реализуемый фильтр при получается, если из схемы рис. 6.1 удалить фильтр В, так что останутся последовательно соединенные фильтры Передаточная функция оптимального реализуемого фильтра, очевидно, равна

Аналогично можно синтезировать оптимальный реализуемый фильтр и для При имеет место задержка и погрешность оценки с ростом убывает, стремясь при неограниченном увеличении к (6.21). При фильтр «предсказывает» будущие значения сигнала Разумеется, такое предсказание имеет смысл лишь в пределах интервала корреляции сигнала и его погрешность быстро возрастает увеличении опережения

Несколько более общую постановку задачи линейной фильтрации получим, отбросив условие стационарности сигнала и помехи Кроме того, учтем, что сумма сигнала и помехи (6.15) наблюдается на конечном отрезке времени.

Итак, пусть подается в некоторый момент на линейный фильтр (вообще говоря, с переменными параметрами), который должен в любой момент времени дать оценку с наименьшей среднеквадратичной погрешностью Потоебуем также, чтобы оценка была несмещенной, т. е.

чтобы математическое ожидание погрешности равнялось нулю. Известными считаются корреляционные функции сигнала и помехи Для отыскания структуры такого фильтра американские ученые Калман и Бьюси использовали метод переменных состояний (см. § 3.5) и получили решение в виде дифференциального уравнения, моделирующего оптимальный фильтр. При заданных начальных условиях в момент времени фильтр позволяет вырабатывать оптимальную оценку для используя каждый раз оценки, полученные для предшествующих моментов времени, и новые значения входного колебания Процедура последовательного вычисления оценок называется рекурсивной, и реализующий ее фильтр Калмана является примером оптимального рекурсивного линейного фильтра. В дальнейшем ограничимся случаем, когда белый шум (не обязательно стационарный), а задержка и изложим основные идеи теории фильтра Калмана.

Сигнал можно представить как результат прохождения белого стационарного шума с единичной спектральной плотностью через некоторую цепь. Полагая эту воображаемую цепь линейной (вообще говоря, с переменными параметрами), можно построить некоторое уравнение состояния

где вектор состояния, первая компонента которого

Остальные компоненты, а также матрицы определяются по ФК сигнала.

Заметим, что линейное уравнение (6.27) описывает гауссовский процесс представляющий компоненту марковского процесса порядка. Для описания негауссовского процесса уравнение (6.27) должно быть нелинейным. Однако, как уже отмечалось, оптимальный фильтр оказывается лииейным только для гауссовских сигналов. Если же сигнал негауссовский, но оптимальный фильтр ищется в классе линейных, то он оказывается таким же, как и для гауссовского процесса с той же Поэтому, не нарушая общности, можно решать задачу линейной фильтрации, полагая гауссовским процессом. Для одномерного марковского процесса задача облегчается, поскольку векторные уравнения превращаются в скалярные. Для немарковского процесса можно всегда найти такое при котором он достаточно хорошо аппроксимируется компонентой марковского процесса порядка.

Будем строить теперь другую линейную цепь — оптимальный фильтр, на вход которого подается колебание

а с выхода снимается вектор оценок каждая составляющая которого является оценкой соответствующей составляющей вектора состояний (и, в частности, первая составляющая является оценкой сигнала Уравнение (6.29) является уравнением наблюдения. Оно совпадает с (6.12), если матрица .

Алгоритм искомого фильтра можно представить матричным диффереициальным уравнением оценки:

где - матрицы, которые нужно найти, чтобы синтезировать фильтр.

Для нахождения воспользуемся условием несмещенности оценки Здесь вектор ошибки. Очевидно, что при этом и Из (6.27) и (6.30) имеем

Приравняем условные математические ожидаиия левой и правой частей (6.31) при фиксированном входном колебании где Учитывая несмещенность оценки и независимость центрированных процессов а также уравнение наблюдения (6.29), получим

Здесь условное математическое ожидание (при фиксированном которое не может равняться нулю при всех Отсюда

Перепишем уравнение оценки (6.30), введя обозначение

и учитывая (6.33):

Рис. 6.2. Реализация фильтра Калмана при оптимальной оценке гауссовского сигнала

Процесс называют процессом обновления. Он представляет собой ту часть которую в отличие от нельзя предсказать по предшествующим наблюдениям. Можно показать, что является белым шумом.

Фильтр, описываемый уравнением (6.34), моделируется схемой рис. 6.2а. Для его построения остается определить функцию обеспечивающую минимум среднеквадратичной погрешности. Путем несложных, но громоздких преобразований, которые мы опускаем, можно показать, что

где спектральная плотность белого шума (вообще говоря, нестационарного, т. е. имеющего функцию корреляции а вектор определяется матричным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами (уравнением Риккати):

где штрихи обозначают транспонирование матриц.

Если выбрать в соответствии с (6.36), то вектор средних квадратов погрешностей оценки равен

Таким образом, задача синтеза фильтра Калмана и оценки его погрешности решена.

Приведем простои пример. Пусть стационарный гауссовский процесс с ФК стационарный белый шум со спектральной плотностью Построим оптимальный фильтр Калмана для установившегося режима, т. е. положим и сравним его с фильтром Колмогорова — Випера.

Как уже отмечалось, такой процесс можно задать дифференциальным уравнением порядка

с начальным условием постоянная, имеющая размерность частоты; центрированный белый шум с единичной спектральной плотностью. Спектральная плотность мощности сигнала выражается формулой и шума

Для синтеза фильтра воспользуемся сначала идеей рекурсивного оценивания и найдем параметры фильтра Калмана, а затем определим передаточную функцию реализуемого фильтра Колмогорова — Винера.

Сравнивая уравнения (6.39) и (6.26), видим, что в данном случае Так как рассматривается установившийся режим, то Уравнение Рпккати принимает вид

Это квадратное уравнение имеет два решения, из которых в силу неотрицательности дисперсии выбираем одно, именно

где параметр характеризует отношение сигнал/шум. На основании (6.36) находим

В результате уравнение (6.27) примет вид

Структурная схема аналоговой модели фильтра Калмана соответствует рис, 6.26. Дисперсия ошибки фильтрации определяется равенством (6.40). Решая задачу синтеза фильтра Колмогорова — Винера, получаем, согласно (6.22),

Разлагая полученное выражение на множители и выбирая тот, у которого нули и полюса лежат в левой полуплоскости, находим

Далее, подставив в (6.26), находим окончательно передаточную функцию оптимального реализуемого фильтра

Такую передаточную функцию можно реализовать с помощью интегрирующей цепи с постоянной времени и усилителя.

Можно показать, что в данном случае, когда сигнал и шум стациоиарпы, фильтр Колмогорова — Вииера совершенно эквивалентен фильтру Калмана (рис. 6.26).

В заключение повторим, что если не накладывать на фильтр условия линейности, то можно, в принципе, построить нелинейный фильтр, обеспечивающий оценку с меньшей погрешностью. Исключение представляет случай, когда сигнал и помеха гауссовские, так как для них оптимальный фильтр всегда линеен. Вопрос о нелинейной фильтрации будет кратко затронут в § 6.10 при рассмотрении модулированных сигналов.