4.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ТОЧНО ИЗВЕСТНОМ АНСАМБЛЕ СИГНАЛОВ

Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным белым шумом, когда при приеме точно известны оба ожидаемых сигнала: и полагая, что априорные вероятности этих сигналов одинаковы. Приходящий сигнал является случайным, так как, во-первых, он содержит случайную помеху во-вторых, заранее неизвестна реализация передаваемого сигнала.

В этом случае согласно (4.30) алгоритм оптимального приема можно записать в виде

При выполнении неравенства (4.44) оптимальный приемник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу в противном случае — символ 0, соответствующий сигналу Если действительно передается символ 1, то При этом вероятность ошибки определится вероятностью того, что неравенство (4.44) не выполнено, т. е. вероятностью выполнения неравенства

которое легко привести к следующему виду:

Аналогичное соотношение получится, если предположить, что передается символ 0. Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки равны: и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Запишем (4.46) в виде

где

Если нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности то нормально распределенная величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом.

Ее математическое ожидание

а дисперсия Учитывая выражение (2.49) для ФК белого шума получим

Поэтому вероятность выполнения неравенства (4.47), т. е. вероятность ошибки,

где произведена замена переменной и введено обозначение

Функция табулирована и называется функцией Крампа. Учитывая, что можно записать в следующем виде:

При заданной интенсивности помехи потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов:

которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространстве Гильберта. Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов.

Соотношение (4.52) позволяет осуществлять оптимальный выбор сигналов или соответственно обеспечивающих максимально возможную помехоустойчивость при заданной энергии сигналов В самом деле, для такой оптимальной системы величина должна быть максимальной при условии, что

Можно написать Для получения максимума этого выражения нужно сделать возможно большими, а интеграл в правой части — как можно меиьшим. Максимально возможные значения получатся, если, учитывая условия (4.53), положить

Интеграл принимает только неотрицательные значения, поэтому его минимум равеи нулю и достигается при условии

которое не противоречит условию (4.54). Таким образом, в двоичном канале с постоянными параметрами и аддитивной флуктуационной помехой оптимальной оказывается система с противоположными сигналами (4.55). Этому условию удовлетворяют, например, двухполярные импульсы (см. с. 129), сигналы двоичной фазовой модуляции (ФМ), если разность фаз сигналов д. Для всех таких систем и вероятность ошибки

где отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектральной плотности флуктуационной помехи.

Для системы с активной паузой и ортогональными сигналами (например, при известных условиях для системы двоичной ЧМ), когда и минимальная вероятность ошибки

Сравнивая (4.56) и (4.57), приходим к выводу, что переход от системы с ортогональными сигналами к системе с оптимальными (противоположными) сигналами позволяет в рассматриваемом канале обеспечить неизменное качество связи (вероятность ошибки) при понижении средней мощности передатчика в 2 раза, т. е. дает энергетический выигрыш в 2 раза (или на 3 дБ).

В двоичной системе с пассивной паузой, полагая получаем для минимальной вероятность ошибки

Отсюда видно, что при переходе от системы AM к системе ЧМ энергетический выигрыш по максимальной мощности равен 2, а при переходе к системе Если же сравнение вести не по пиковой, а по средней мощности, то переход от AM к ЧМ не дает энергетического выигрыша, поскольку при ЧМ средняя мощность равна максимальной, а при AM - вдвое меньше максимальной (если передаются с одинаковой вероятностью).

Тем не менее, когда в начале 40-х годов в радиосвязи стали применять ЧМ, Помехоустойчивость значительно возросла по сравнению с ранее господствовавшей системой AM. Это объясняется не увеличением потенциальной помехоустойчивости, которая для обеих систем одинакова, а, главным образом, тем, что оптимальная решающая схема для ЧМ реализуется с довольно большой точностью, а при AM этому препятствует невозможность обеспечить точное оптимальное значение ненулевого порогового уровня (см. рис. 4.5). Поэтому реальная помехоустойчивость при ЧМ близка к потенциальной, а при AM значительно ниже ее.

Система ФМ (см. с. 129), как и другие системы с противоположными сигналами, обеспечивает максимальную для двоичной системы потенциальную помехоустойчивость. Однако реализация демодулятора для когерентного приема ФМ встречает серьезные трудности. При построении демодулятора с активным фильтром (см. рис. 4.5) возникает проблема поддержания равенства фаз опорного генератора и приходящего сигнала. Если же пытаться его строить на основе согласованного фильтра (например, рис. 4.11), то возникает еще более трудная задача когерентного отсчета.

В практических схемах опорный сигнал формируется из принимаемого колебания, поскольку если его генерировать автономным генератором в месте приема, то необходимое согласование по фазе не может быть обеспечено вследствие неизбежных флуктуаций. Для этого нужно по принимаемому сигналу восстановить немодулированный гармонический сигнал При AM это осуществляется просто, путем выделения фильтром составляющей спектра на несущей частоте. При ФМ этого сделать не удается, так как если элементы передаются равновероятно, то спектр сигнала ФМ вообще не содержит составляющей на частоте

Рис. 4.14. Метод А. А. Пистолькорса для формирования опорного сигнала три ФМ с манипуляцией на

Для ее получения приходится использовать нелинейные устройства снятия манипуляции. Это достигается различными схемами, например схемой, предложенной А. А. Пистолькорсом (рис. 4.14). Схема содержит умножитель частоты на 2, выходной сигнал которого через узкополосный фильтр, настроенный на частоту поступает на делитель частоты на 2.

Все схемы формирования опорного сигнала таковы, что вследствие различных неконтролируемых факторов возможны случайные изменения знака опорного сигнала. Это, в частности, относится и к делителю частоты на 2 в схеме А. А. Пистолькорса, поскольку эта операция неоднозначна — фаза выходного сигнала делителя может принять любое из двух значений или Это означает, что символы, регистрируемые в дискретной памяти выходе приемника даже при отсутствии аддитивной помехи в канале после случайного перескока фазы опорного сигнала инвертируются (нули будут записаны как 1, а 1 как Это будет продолжаться до следующего перескока фазы опорного сигнала. Возникает так называемое явление «обратной работы», вследствие которого практическое внедрение систем с фазовой манипуляцией оказалось невозможным.

Эффективный метод устранения этого явления был найден путем перехода к относительным методам модуляции, предложенным Н.Т. Петровичем (см. § 1.5). При относительной фазовой манипуляции (ОФМ) информация содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов. Сигналы ОФМ могут приниматься различными методами. Здесь рассмотрим квазикогерентный метод приема сигналов ОФМ (называемый методом сравнения полярностей). Заметим сначала, что систему ОФМ можно рассматривать как обычную систему с фазовой манипуляцией (ФМ), но со специальным перекодированием символов. Это означает, что оптимальный прием сигналов ОФМ можно осуществить, например, схемой рис. 4.5, но с перекодированием принятых символов. Перекодирование выполняется сравнением полярностей напряжений на выходе интегратора для двух соседних элементов, для чего, естественно, требуется задержка выходных символов в ячейке памяти на время

Рис. 4.15. Схема оптимального приема сигналов ОФМ методом сравнения полярностей (когерентный прием)

Такая схема демодулятора показана на рис. 4.15 (без устройства подстройки фазы опорного генератора которое может быть выполнено, например, по схеме рис. 4.14). Так как система с активной паузой, то пороговый уровень в демодуляторе — нулевой и решающее устройство превращается в дискриминатор полярности Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП), которая представляет собой обычный перемножитель. Символ 1 регистрируется на выходе приемника при совпадении полярностей двух соседних посылок, символ 0 — если эти полярности противоположны. При таком методе

приема ошибка (при отсутствии помехи в канале) возникает в момент перескока фазы опорного сигнала только в одном символе. Последующие же символы регистрируются правильно, т. е. явление «обратной работы» устранено.

Определим вероятность ошибки в системе ОФМ при учете флуктуационной помехи в Канале при когерентном приеме. Вероятность Рофм ошибочной регистрации символов в системе ОФМ при приеме по методу сравнения полярностей не совпадает с вероятностью появления ошибок на выходе фазового детектора или, что то же самое, с вероятностью ошибок в системе «классической» фазовой манипуляции (ФМ), определяемой формулой (4.56). Очевидно, что ошибочная регистрация символа при приеме методом сравнения полярностей возможна в результате одного из двух несовместимых событий: а) знак данного элемента принят ошибочно, а знак предыдущего — верно; б) знак данного элемента приият верио, а предыдущего — ошибочно. Каждое из этих событий имеет вероятность Таким образом,

В нормальных условиях эксплуатации, когда требуется

Таким, образом, «платой» за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале.

Очевидно, что при рассматриваемом методе приема сигналов ОФМ образующийся дискретный канал является марковским ,(см. с. 103). Вероятность ошибки в нем зависит от того, правильно или ошибочно принят предыдущий символ. Подавляющее большинство ошибок группируется по две.

Для недвоичных систем нахождение вероятности ошибочного приема в общем случае затрудняется, так как теперь приходится анализировать совокупность из неравенств. Однако для систем с активной паузой при равновероятных ортогональных сигналах канал симметричен и можно оценить вероятность простым неравенством

где - вероятность ошибки для двоичной системы в том же канале, если используется некоторая пара из сигналов.

Для доказательства заметим, что решение о том, что передан сигнал принимается, если одновременно выполняются неравенств Если действительно передавался сигнал то ошибка произойдет в том случае, когда хотя бы одно из неравенств (4.26) не будет выполнено. По формуле Буля (см. сноску на с. 116) вероятность этого не превышает суммы вероятностей невыполнения каждого из неравенств (4.42). Поскольку при сделанных предположениях вероятность невыполнения любого неравенства (4.26) равна то отсюда следует оценка (4.60). При вероятность того, что одновременно два или более неравенств в (4.26) не будут выполнены, очень мала. В этом случае, в соответствии с замечанием в сноске на с. 116, неравенство (4.60) даёт очень плотную оценку для так что его можно рассматривать как приближенное равенство.

Из формулы (4.60) не следует делать поспешного вывода о том, что -ичная система при хуже двоичной. Фиксируя скорость ввода информации в канал в обеих системах видим, что длительность -ичиого сигнала оказывается равной где длительность двоичного сигнала. От длительности зависит и энергия сигнала где мощность принимаемого сигнала. Соответственно при фиксированной величине спектральном плотности шума и параметр оказывается в -ичной системе в раз больше, чем в двоичной. Это увеличение при определенных условиях с избытком компенсирует влияние множителя в формуле (4.60).

Пусть, например, используются взаимно ортогональных сигналов. При вероятность ошибки определяется формулой (4.57). Для удобства дальнейших преобразований заменим эту формулу довольно грубой оценкой, справедливой при любых значениях

Тогда в -ичной ортогональной системе

где Имеем

С увеличением правая часть неравенства (4.62) стремится к нулю, если

Так как мы пользовались очень грубыми оценками [в частности, (4.61)], полученное условие (4.63) является достаточным, но не необходимым для того, чтобы с увеличением основания кода вероятность ошибочного приема стремилась к нулю. Используя более точные оценки, можно показать [17], что стремится к нулю с ростом если

Но правая часть (4.64) есть не что иное, как пропускная способность (3.66) рассматриваемого канала при отсутствии ограничений на пропускаемую полосу частот. Таким образом, еще раз подтверждается теорема Шеннона: при можно, используя сигналы, передающие информацию о достаточно длинных отрезках сообщения, обеспечить сколь угодно малую вероятность ошибки.

Следует еще раз подчеркнуть, что при заданном ансамбле сигналов существует конечная минимальная вероятность ошибки, определяющая потенциальную помехоустойчивость. Если же ансамбль сигналов можно расширять, охватывая каждым элементарным сигналом все больший объем информации, то в условиях теоремы Шеннона можно получить сколь угодно низкую вероятность ошибки.

Поскольку с ростом вероятность ошибок уменьшается, может возникнуть вопрос, почему существующие системы передачи дискретных сообщений чаще всего двоичные, значительно реже и уж совсем редко используются значения Это объясняется, во-первых, тем, что с увеличением быстро возрастает сложность демодулятора, значительно быстрее, чем уменьшается вероятность ошибки. Во-вторых, увеличение числа ортогональных сигналов требует расширения спектра, что не всегда возможно. Действительно, при ширине спектра размерность пространства сигналов на интервале приблизительно равна Следовательно, любой ортогональный базис может содержать только элементов, так что Поэтому с увеличением должно пропорционально расти произведение Так как растет при этом пропорционально то ширина спектра должна увеличиваться, по крайней мере, пропорционально Можно, конечно, отказаться от применения ортогональных сигналов и увеличивать не расширяя спектра. По теореме Шеннона и в этом случае существует возможность получить сколь угодно малую вероятность ошибок. Однако конструктивные методы непосредственного построения таких ансамблей аналоговых сигналов неизвестны. Именно вследствие этого приходится прибегать к построению сложных сигналов путем кодирования на дискретном уровне, которое будет рассмотрено в § 5.2.