3.5. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ

Рассмотрим другой подход к построению математических моделей каналов. Выше соотношения между входным и выходным сигналами задавались интегральными преобразованиями (например, интегралом Дюамеля). При этом для нахождения выходного сигнала требуется знать помимо характеристик цепи (канала) также входной сигнал, действовавший на нее на всем промежутке его существования, до текущего момента

Во многих случаях более гибким является такое описание, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени заменяется заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристики цепи, начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от до можно последовательно определить как сигнал на выходе, так и новое состояние цепн в любой момент времени

Читатели знакомы с подобным подходом из теории диффереициальных уравнений, в которой искомая функция определяется как самим уравнением, так и определенными начальными условиями, число которых равно порядку уравнения. Излагаемый в данном параграфе метод переменных состояния иллюстрируется на примерах цепей, описываемых с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Множество величин, однозначно определяющих поведение цепн в некоторый момент содержащее минимальное число элементов называют состоянием, а сами элементы этого множества — переменными состояния. Каждую из этих переменных обычно рассматривают как составляющую -мерного вектора состояний. Для любой заданной цепи можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент и выходной сигнал. Первое из них называется уравнением состояния, а второе — уравнением наблюдения.

Рис. 3.6. Последовательный колебательный контур

Для иллюстрации основных положений метода переменных состояния рассмотрим простой пример — линейную -цепь (рис. 3.6), в которой выходное напряжение связано с входным напряжением и дифференциальным уравнением

где

Состояние этой цепн в любой момент времени характеризуется двумя параметрами: током, протекающим через индуктивность паденнем напряжения на емкости С. Значения содержат достаточную ннформацию о предыстории цепи, связанной с прошлыми воздействиями которая необходима для определения будущих значений выходного процесса при заданных воздействиях Таким образом, можно интерпретировать как переменные состояния, а дифференциальное уравнение (3.39) — как уравнение состояния, которое обычно приводят к форме векторного дифференциального уравнения первого порядка. При замене переменных

уравнение (3.39) эквивалентно системе дифференциальных уравнений пеового порядка:

которая с учетом правил векторно-матричных преобразований допускает компактное представление

где

При этом уравнение наблюдения имеет вид (3.41), или в векторной форме

Заметим, что выбранный нами вектор состояния не является единственно возможным. Любое Несингулярное линейное преобразование вектора приводит к другому вектору состояний.

Важной особенностью метода переменных состояний является возможность непосредственного моделирования систем, описываемых уравнениями состояния, с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства. На рис. 3.7 показана модель системы уравнений (3.43) — (3.44). При построении такой схемы удобно рассуждать следующим образом.

Рис. 3.7. Моделирование уравнений состояния линейной системы порядка (последовательного колебательного контура)

Пусть в некоторых точках присутствуют входной сигнал и переменные состояния Соединим эти точки сумматорами, усилителями и интеграторами так, чтобы соотношения между ними соответствовали уравнениям (3.43), (3.44). Из первого уравнения следует, что, подав на вход интегратора мы должны получить, с точностью до постоянной, Эта постоянная определяется начальным условием и равна. Затем осуществляем операции, записанные в правой части второго уравнения, умножив на на (с помощью усилителей с соответствующими коэффициентами усиления) и сложив полученные результаты с учетом знаков. Проинтегрировав полученную сумму и прибавив к ней постоянную (начальное условие), получим Таким образом, все точки в схеме соединились в соответствии с уравнениями (3.43) и (3.44).

Если на такую схему-модель подать входной сигнал то на выходе получится выходной сигнал Однако это не представляет большого интереса, поскольку то же самое можно сделать без моделирования, исследуя экспериментально исходную цепь (в данном случае рис. 3.6). Значительно важнее то, что с помощью модели можно решить обратную задачу — по выходному (наблюдаемому) сигналу найти входной.

В более общем случае аналогичные матричные уравнения в форме (3.45) и (3.47) можно построить для цепей более высокого порядка, в том числе

нелинейных и с переменными параметрами. Отлнчне будет лишь в размерности матриц и в том, что они могут быть функциями времени (для цепей с переменными параметрами) и состояния (для нелинейных цепей). Если на цепь воздействует несколько входных и несколько выходных сигналов, то их также рассматривают как компоненты вектор-функций и В самом общем случае уравнения состояния и наблюдения принимают в векторной форме следующий вид:

Рис. 3.8. Цепь модель уравнений состояния цепи

Каждое из матричных уравнений представляет, в сущности, систему дифференциальных уравнений, число которых для уравнений состояния равно количеству переменных состояния (порядку цепн), а для уравнений наблюдения — количеству выходов цепи

Отметим еще простейший случай линейной цепи порядка, например интегрирующей -цепи (рис. 3.8а). В этом случае уравнения состояния (3.45) и наблюдения (3.47) оказываются скалярными, а в качестве единственной переменной состояния удобно принять напряжение на конденсаторе, которое совпадает с выходным сигналом Уравнения имеют вид

что совпадает с (3.45) и (3.47) при Соответствующая модель дана на рис. 3.8 б.

Одно из приложений метода переменных состояния связано с возможностью конструктивного описания случайных процессов. Оно состоит в том, что случайный процесс с заданными вероятностными характеристиками представляется как выход некоторой дниамической системы, возбуждаемой другим случайным процессом с более простой вероятностной структурой Обычно в качестве порождающего используется гауссовский процесс типа белого шума с нулевым средним и корреляционной функцией

где -симметричная, неотрицательно определенная матрица, а штрнх обозначает транспонирование. Можно показать, что при воздействии случайного процесса удовлетворяющего (3.51), на схему, описываемую (3.48) и (3.49), где функции удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности, процессы а также являются марковскими, переходные плотности вероятностей которых подчинены соответствующим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова — Фокера — Планка (2.30) (см. § 2.1). Если гауссовский порождающий процесс воздействует на линейную цепь, то и выходной процесс будет гауссовским. Он будет также стационарным, если формирующая система является линейной с постоянными параметрами. Распределение

вероятностей процесса будет иегауссовским, если он сформирован нелинейной системой (3.48) — (3.49).

В частности, еслн на вход цепи рис. 3.8 поступает нормальный белый шум, то выходным процессом будет марковский гауссовский процесс с нормированной корреляционной функцией (2.31).

Метод переменных состояния с успехом применяется для описания стохастических цепей (каналов) со случайно изменяющимися параметрами. Для этого некоторые элементы системных функций (матриц) следует рассматривать как случайные функции. Кроме того, в уравнении наблюдения следует учитывать компоненту аддитивных помех.

Метод переменных состояний дает универсальный подход для моделирования (в рамках весьма широкой марковской модели) каналов передачи информации (систем связи) для самых различных сообщений, способов кодирования и модуляции (как линейной, так и нелинейной), линий связи с детерминированными и случайными параметрами, рассеянием сигналов, аддитивными шумами (как гауссовскими, так и иегауссовскими). Более существенно то обстоятельство, что, представляя наблюдаемые (анализируемые в месте приема) случайные марковские процессы с помощью дифференциальных уравнений (уравнений состояния) можно решить обратную задачу, т. е. получить дифференциальные уравнения для оценки сообщений, заключенных в этих процессах. Такие оценки с помощью аналоговой или цифровой техники значительно проще, чем оценки, следующие из интегральных уравнений. Это будет показано в § 6.2 и 6.10 при рассмотрении фильтрации сигналов на фоне шумов.