2.7. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА

Важное значение в теории передачи сигналов имеет пространство сигналов с финитным спектром, таких сигналов с интегрируемым квадратом, для которых преобразование Фурье при Оно является подпространством пространства Назовем его пространством а пространство соответствующих спектров (комплексных функций от аргумента назовем Оно является пространством финитных функций, заданных на интервале и отличается от комплексного пространства только обозначением аргумента и области определения.

Прямое и обратное преобразования Фурье определяют взаимно однозначное соответствие между пространствами которое в данном случае является изоморфизмом. Действительно, из теории преобразования Фурье известно, что

т. е. скалярные произведения соответствующих элементов пространств одинаковы. Остальные условия изоморфности (см. вытекают из линейности преобразования Фурье.

В пространстве существует ортонормированный базис

Вследствие изоморфизма функциям соответствуют некоторые функции (обратные преобразования Фурье от образующие в пространстве также полный ортонормированный базис.

Найдем эти функции:

где введено обозначение

Второй интеграл в (2.111) равен нулю. Первый же интеграл легко вычисляется и дает

Ортогональность и полнота системы функций нарушатся, если каждую из них разделить на постоянную в результате чего получим ортогональный (не нормированный) базис, в пространстве функций с финитным спектром:

где

Функции называются функциями отсчета. Три из них изображены на рис. 2.14. Они отличаются друг от друга тольш сдвигами по времени на интервалы, кратные Заметим, что при где любое целое положительное или отрицательное число, все функции отсчета, кроме равны нулю, а

На основании (2.98) любую функцию с финитным спектром можно представить рядом

называемым рядом Котельникова.

Для нахождения коэффициентом разложения можно, конечно, воспользоваться формулой (2.97). Однако в данном случае существует более простой путь. Для определения коэффициента положим Тогда все члены ряда, кроме обратятся в нуль, а в единицу, откуда

Рис. 2.14. Функция отсчета

Таким образом, коэффициенты ряда Котельникова представляют собой значения (отсчеты) функции взятые в моменты времени, кратные Именно это обстоятельство определило исключительную важность ряда (2.132) в теории передачи сигналов и позволило В. А. Котельникову сформулировать и доказать следующую теорему:

Сигнал с финитным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам, взятым через интервалы времени где -верхняя частота спектра сигнала. Это осуществляется с помощью ряда

где Фундаментальное значение теоремы Котельникова заключается в том, что она обосновывает возможность дискретизации по аргументу (времени) любых функций с финитным спектром. На ней основаны все методы импульсной модуляции. Эта теорема широко используется также в теоретических исследованиях.

Пусть для некоторых сигналов с финитным спектром все отсчеты в точках лежащих за пределами некоторого интервала времени длительностью равны нулю. Тогда ряд (2.116) вырождается в конечную сумму, число членов которой равно числу отсчетных точек, умещающихся на интервале Т:

Эта величина представляет, очевидно, размерность пространства. В теории связи ее называют базой сигнала.

Иногда полученный результат формулируют следующим образом: сигнал длительностью спектр которого не содержит частот выше полностью определяется заданием его отсчетов. Однако такая формулировка неточна и противоречива. Как известно из теории преобразования Фурье, спектр финитного сигнала не может быть финитным, так что сигналов, о которых говорится в приведенной фразе, в природе не существует. В частности, сигнал, представленный конечным числом членов ряда Котельникова, существует и за пределами интервала времени внутри которого находятся все ненулевые отсчеты. Это видно из того, что каждая функция отсчетов не финитна, хотя и затухает довольно быстро при удалении от своего максимума.

Тем не менее, на практике часто приходится иметь дело с финитными сигналами, энергия которых почти полностью сосредоточена внутри полосы частот и для таких сигналов нередко используют конечное число членов ряда Котельникова. Но в данном случае это представление является приближенным, и сумма такого конечного ряда отличается от функции некоторой погрешностью Нетрудно показать, что относительный средний квадрат погрешности (где волнистая черта означает усреднение по времени) равен доле энергии сигнала, лежащей за полосой частот и может быть очень малым, если

Заметим, что такой финитный сигнал можно разложить и по тригонометрическому базису в обычный ряд Фурье (2.110) по частотам, кратным Если теперь отбросить малые члены, частоты которых превышают то легко убедиться, что число ненулевых членов такого ряда также примерно равно В этом ничего удивительного нет, так как оба эти представления можно трактовать как разложение функций в пространстве с размерностью по двум различным ортогональным базисам.

Дискретизированный по времени сигнал т. е. последовательность его отсчетов, часто бывает предсташлен последовательностью очень коротких импульсов, площадь которых пропорциональна отсчетам Если пропустить такой импульс через идеальный фильтр нижиих частот с полосой пропускания то на выходе восстановится сигнал Действительно, импульсная реакция идеального ФНЧ равна а последовательность входных импульсов (аппроксимируя их дельта-функциями) можно представить суммой Тогда на основании интеграла Дюамеля получим в момент на выходе

Реальный ФНЧ отличается от идеального, одиаисо может к нему сколь угодно приблизиться, если допускается достаточная задержка. Неидеальность ФНЧ является дополнительным источником погрешности при восстановлении сигнала по импульсным отсчетам.

Для случайных процессов с финитным энергетическим спектром отсчеты (сечения) в (2.116) являются случайными числами. Последовательность полностью определяет реализацию сигнала Если спектр сигнала в полосе равномерен, то отсчеты в соответствии с (2.48), некоррелированны. В этом случае разложение (2.116) является каноническим.