5.5. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ

Вследствие большого числа избыточных кодов необходим критерий для объективного сравнения их между собой. В известной степени таким критерием для блочных кодов может служить минимальное хэммингово расстояние Однако оно не характеризует код в полной мере.

Так, например, код с (т. е. исправляющий все одиночные ошибки) при неэквивалентен коду с таким же при Применение первого из этих кодов в симметричном канале без памяти при вероятности ошибки позволит исправить почти все ошибки, поскольку вероятность того, что из семи символов кодовой комбинации ошибочно будут приняты два более, очень мала (приблизительно равна 0,002). Из тысячи кодовых комбинаций в среднем только две будут декодированы неправильно. При применений же второго кода около 12% всех комбинации будет декодировано ошибочно, потому что вероятность появления двух или большего числа ошибок в комбинации из 50 символов приблизительно равна 0,12.

Для более объективного сравнения кодов и каналов используется понятие эквивалентной вероятности ошибки. Ограничимся здесь только блочными двоичными кодами, хотя это понятие можно распространить и на другие коды.

Пусть -разрядная кодовая комбинация содержит двоичных единиц информации. Здесь где число разрешенных кодовых комбинаций. Очевидно, что для систематического кода к является числом информационных символов в комбинации. Предположим, что в некотором реальном канале I данный код обеспечивает вероятность правильного декодирования комбинации.

Рассмотрим другой воображаемый двоичный симметричный канал без памяти II, в котором ошибки происходят с вероятностью и предположим, что по этому каналу передаются те же двоичных информационных символов, но при безызбыточном кодировании. Пусть, далее, величина такова, что вероятность правильно принять все символов равна т. е. такая же, как и вероятность правильного декодирования в канале I при использовании рассматриваемого помехоустойчивого кода. Очевидно, что с точки зрения верности передачи информации каналы I и II можно считать эквивалентными. Тогда естественно назвать величину эквивалентной вероятностью ошибок для канала I при заданном избыточном коде.

Величину вероятности правильного декодирования комбинации, в принципе, можно всегда вычислить, зная структуру рассматриваемого кода и свойство канала В крайнем случае ее можно оценить экспериментально. Зная можно вычислить и эквивалентную вероятность ошибок Для этого заметим, что в канале II

откуда

Если величина близка к единице (как это бывает в практически важных случаях), то, обозначив получим

Величина представляет, очевидно, вероятность ошибочного декодирования кодовом комбииации.

В качестве примера оценим эквивалентную вероятность ошибки описанного выше систематического кода при использовании его в симметричном канале с вероятностью ошибки Кодовая комбинация содержит символов и двоичных единиц информации. Код позволяет исправить все одиночные ошибки и никакие другие.

Поэтому комбинация будет декодирована правильно, если все символы приняты верно либо если из семи символов одни принят ошибочно. Вероятность этого равна

При пользуясь формулой бинома Ньютона и пренебрегая членами порядка выше получим откуда рот и на основании

Следует подчеркнуть, что эквивалентная вероятность ошибки характеризует код не сам по себе, а только в применении к определенному каналу. Именно это необходимо для объективной характеристики кода, поскольку один и тот же код может быть хорошим для одного капала и в то же время непригодным для другого.