2.5. ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ

Подойдем теперь к изучению ансамбля сигналов с другой точки зрения, сделав упор не на вероятностную меру, а на соотношения между отдельными выборочными функциями. Заметим, прежде всего, что обычно два сигнала можно сложить друг с другом и их сумма представляет собой также сигнал (быть может принадлежащий множеству с нулевой вероятностью). Такое сложение происходит, например, когда к полезному сигналу прибавляется аддитивная помеха. Кроме того, сигналы можно умножать на действительные числа, что осуществляется, например, в идеальном усилителе.

В функциональном анализе множество любых элементов х, у, z называется линейным (или векторным) пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям;

1. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент называемый их суммой и также входящий в данное пространство, причем

2. В линейном пространстве существует нулевой элемент, обозначенный 0, такой, что для всех х.

3. Для каждого элемента х линейного пространства существует противоположный ему элемент такой, что

4. Любой элемент пространства можно умножить на любое число из некоторого множества называемого множеством скаляров причем также принадлежит данному пространству и выполняются следующие соотношения:

Примерами линейных пространств могут служить:

множество векторов на плоскости с обычным определением векторного сложения и умножения вектора на число;

множество всех действительных (или всех комплексных) чисел с обычными определениями сложения и умножения;

множество упорядоченных последовательностей из действительных чисел если определить сумму и умножение на скаляр следующим образом:

Во всех приведенных примерах скалярами могут быть любые действительные числа. При другом выборе поля скаляров можно построить, например, такие линейные пространства:

множество всех целых положительных и отрицательных чисел (включая нуль), если иоле скаляров содержит тоже только целые числа;

множество, состоящее всего лишь из двух чисел, 0 и 1, если сложение производится по модулю 2, т. е. по правилу

а скалярами являются также только 0 и 1;

множество упорядоченных последовательностей из чисел, принимающих значения 0 и 1, при таких же скалярах, причем сложение и умножение производятся поразрядно, т. е. по а каждые два числа складываются по модулю 2, т. е. по (2.88). Заметим, что в последних двух пространствах

Очевидно, что множества, приведенные в последних двух примерах, не представляли бы линейного прострашства, если бы сложение определялось не по модулю 2, а обычным образом, так как не выполнялось бы условие 1. Точно так же не являлось бы линейным пространством (при обычном определении сложения) множество всех положительных чисел (не выполняются условия 2 и 3) или множество всех действительных (либо комплексных) чисел, не превосходящих по модулю некоторого числа (не выполняется условие 1).

Особый интерес для нас представляют функциональные пространства, т. е. линейные пространства, элементами которых являются функции. Примером может служить множество всех непрерывных комплекснозначных функций заданных на интервале — если скаляры принадлежат полю комплексных чисел. Раздел математики, изучающий функциональные пространства, называется функциональным анализом.

Элементы любого линейного пространства называются векторами, их можно рассматривать как обобщение понятия обычных векторов на плоскости или в трехмерном пространстве. Многие свойства обычных векторов переносятся на элементы различных линейных пространств. В частности, ниже будут определены «длина» вектора (которую будем называть нормой), угол между двумя векторами, расстояние между векторами и скалярное произведение двух векторов.

Для теории передачи сигналов важным является то обстоятельство, что практически все сигналы (дискретные и непрерывные) и все аддитивные помехи можно рассматривать как векторы в некотором пространстве. Это позволит получить сравнительно просто и наглядно многие важные результаты.

Определим размерность векторного пространства. Особенностью обычных векторов на плоскости (двумерном пространстве) является то, что любой вектор можно выразить в виде линейной комбинации любых двух непараллельных между собой векторов х и у:

Для трехмерного пространства это не имеет места, но зато любой вектор можно выразить линейной комбинацией трех не лежащих в одной плоскости и не параллельных векторов.

Другими словами, в двумерном пространстве три вектора, а в трехмерном пространстве четыре вектора всегда оказываются линейно зависимыми. Распространим это понятие на любое линейное пространство.

Элементы линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют скаляры не все равные пулю, такие, что

Очевидно, что в этом случае любой из этих элементов можно выразить линейной комбинацией остальных элементов. Этого нельзя сделать, если (2.90) выполняется только при В последнем случае элементы линейно независимы.

Линейное пространство, в котором можно найти линейно независимых элементов, а любые элементов линейно зависимы, называется -мерным. Если же можно найти произвольное число линейно независимых элементов, то пространство называется бесконечномерным.

Базисом в «-мерном пространстве называется любая система из линейно независимых векторов.

Во многих линейных пространствах можно ввести понятие скалярного произведения двух элементов, х и у, которое обозначается Скалярным произведением называется число (в некоторых пространствах комплексное), удовлетворяющее следующим условиям:

а) означает комплексную сопряженность)

б) т. е. скалярное произведение вектора на самого себя всегда является действительным неотрицательным числом;

в) только тогда, когда

Из условий а) и г) следует, что

Конечномерное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.

Нормой вектора называется неотрицательное число, обозначаемое и равное арифметическому значению Из условия в) следует, что только для нулевого вектора. Из условия г) вытекает важное свойство нормы: В частности, при это дает Для обычных векторов нормой, как легко убедиться, является длина.

Расстоянием между векторами х и у, которое обозначается называют норму разности этих векторов:

Очевидно, что

Важную роль в математике играет неравенство Коши-Буняковского-Шварца, справедливое для всех линейных простраистп:

Для его доказательства рассмотрим квадрат нормы элемента который разумеется, неотрицателен:

Раскрывая скалярное произведение с помощью условий (2.91), найдем

при всех значениях а. Положим и подставим это значение в (2.94):

откуда непосредственно следует (2.93). Заметим, что в (2.93) имеет место равенство, если где любой скаляр.

Из неравенства (2.93) вытекают важные свойства нормы и расстояния:

Доказательство этих неравенств предоставляем читателю. В применении к обычным векторам на плоскости оба эти неравенства характеризуют известный из элементарной геометрии факт — длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Поэтому их часто называют «соотношением треугольника».

В пространстве обычных векторов на плоскости скалярное произведение определяется, как известно, следующим образом:

где угол между векторами. Нетрудно убедиться, что при этом выполняются условия (2.91).

По аналогии с этим определим угол между элементами х и у любого евклидова пространства как

Это определение корректно, так как из неравенства (2.93) следует,

В частности, если то и элементы пространства называются ортогональными.

Подмножество векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной системой, если при

Элементы ортогональной системы линейно независимы. Действительно, если и уравнении (2.90) все взаимно ортогональны, то, умножая обе части уравнения скалярно на найдем, что Так как то же самое можно получить для всех то из этого следует линейная независимость ортогональных векторов. В любом -мерпом пространстве можно построить полный ортогональный базис, т. е. систему из ортогональных векторов.

Ортогональный базис, удовлетворяющий условию

называется ортонормированным. Очевидно, что по любому ортогональному базису можно построить ортонормированный, заменив все х на