6.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА НЕПРЕРЫВНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

В предыдущем параграфе рассматривалась непосредственная передача непрерывного сообщения. В большинстве современныч систем связи первичный сигнал не передается по каналу связи, а преобразуется в модуляторе во вторичный сигнал Рассмотрим простейший случай, когда передаваемое сообщение представляет собой некоторую случайную величину, не изменяющуюся во времени. В этом случае модуляция сводится к установлению некоторого параметра X сигнала в соответствии с передаваемым сообщением, а задачей демодулятора является выявление (оценка) этого параметра с возможно большей точностью. Такая же задача возникает и при передаче сообщений, заданных на дискретных точках оси времени. В этом случае последовательно оцениваются значения параметра на интервалах времени между дискретными точками.

В простейшем случае, когда оценивается один параметр сигнала заданной формы, задача ставится следующим образом. Пусть принимаемое на интервале колебание представляет собой аддитивную смесь сигнала , зависящего от одного неизвестного параметра X, с белым шумом

Полагаем; что параметр X имеет постоянное значение на интервале наблюдения и известна априорная плотность вероятности этого параметра до Требуется определить оператор системы, гарантирующий получение наилучшей оценки параметра X, и рассчитать точность этой оценки.

Из-за шума в канале и случайного характера параметра К точное измерение его невозможно. Можно лишь указать приближенную его оценку. Очевидно, вся информация о переданном параметре (сообщении) X после приема колебания содержится в апостериорном распределении которое, согласно формуле Байеса, можно представить в следующем виде:

На основании анализа апостериорного распределения (6.45) принимается решение об оценке передаваемого параметра При больших отношениях сигнал/шум апостериорная плотность вероятности имеет наибольший максимум в окрестности истинного значения параметра Это обстоятельство указывает, что в качестве оценки целесообразно взять то значение к, которое обращает в максимум функцию

Во многих практических случаях априорная плотность вероятности оказывается неизвестной и ее полагают равномерной на некотором интервале При этом координата максимума апостериорной вероятности будет совпадать с соответствующей координатой условного распределения которое называют функцией правдоподобия. В этом случае правило максимума апостериорной вероятности переходит в правило максимального правдоподобия. Здесь оценка параметра определяется из условия

Оценка параметра, получаемая по этому критерию, называется максимально правдоподобной. Уравнение правдоподобия (6.46) можно записать в другом виде:

поскольку монотонная функция своего аргумента и, следом вательно, корни уравнений (6.46) и (6.47) совпадают. Оценка определяется тем корнем уравнения (6.47), который соответствует максимуму функции правдоподобия. Другим, весьма распространенным критерием оценки параметров сигнала, является оценка по минимуму среднеквадратичной ошибки. При этом критерии минимизируется по X выражение

В этом случае оптимальная оценка находится из условия

После дифференцирования выражения (6.48) по Я с учетом, что получаем откуда

т. е. оптимальной оценкой параметра является математическое ожидание апостериорного распределения.

Критерий среднеквадратичной ошибки является частным случаем более общего критерия, когда минимизируется математическое ожидание некоторой функции потерь. т. е.

Оценка, минимизирующая эту величину, называется байесовской оценкой, а критерий (6.50), как и в дискретном случае [см. (4.13)], — критерием среднего риска. При критерий минимума среднего риска (6.50) переходит в критерий среднеквадратической ошибки (6.48). В этом случае байесовская оценка определяется выражением (6.49).

Если симметрична относительно что имеет место при большом отношении сигнал/шум, то критерии максимума апостериорной вероятности или максимума функции правдоподобия совпадают с критерием минимума среднеквадратичной ошибки.

Если значение параметра X постоянно на интервале наблюдения и принятое колебание представляет собой аддитивную смесь (6.44) полезного сигнала и нормального белого шума со спектральной плотностью то вектор представляющий принимаемое колебание в функциональном пространстве, является случайным гауссовским вектором, среднее значение которого равно , а дисперсия совпадает с дисперсией шума. Рассуждая так же, как в § 4.2, легко показать, что

Нетрудно убедиться, что для сигнала зависящего от нескольких параметров функция правдоподобия

Выражение для апостериорной вероятности согласно (6.51) и (6.45) будет

где постоянный коэффициент.

Второй экспоненциальный множитель не представляет операции над и может быть вынесен в виде отдельного множителя, подобного априорной вероятности. Он равен где энергия сигнала . В тех случаях, когда параметр X не энергетический, т. е. энергия сигнала не зависит от X, этот член также можно включить в постоянную к. При этом условии выражение (6.53) можно записать так:

где

Экспоненциальная функция является монотонной. Позему функция воспроизводит характер изменения апостериорной вероятности. Отсюда следует, что при известной априорной вероятности определение апостериорной вероятности сводится к вычислению функции Эта функция, с точностью до коэффициента, равна скалярному произведению пришедшего сигнала на ожидаемый вариант сигнала Ее часто называют корреляционным интегралом. Она определяет те существенные операции, которые нужно выполнить над чтобы извлечь всю доступную информацию о переданном сообщении Это означает, что оптимальный приемник максимального правдоподобия должен воспроизводить то сообщение X, для которого функция максимальна. Определение функции на всем априорном интервале технически трудно реализуемо.

Рис. 6.3. «Многоканальная» схема оптимального приема непрерывного параметра

Поэтому обычно определяется не непрерывная функция а совокупность ее дискретных значений на интервале Тогда оптимальную схему можно реализовать в виде «многоканальной» системы (рис. 6.3), каждая ветвь которой формирует оптимальный выходной эффект при данном фиксированном значении измеряемого параметра Выходные эффекты всех ветвей подводятся к решающему устройству принимающему решение по максимуму правдоподобия (максимуму

Рис. 6.4. Схемы одной ветви при корреляционном приеме (а) и при приеме на согласованный фильтр (б)

Число дискретных значений параметра или число независимых ветвей приема должно быть таким, чтобы набор дискретных значений функции с достаточной для практики точностью воспроизводил функцию на заданном интервале Формирование выходного эффекта (корреляционного интеграла) в каждом канале можно

осуществить с помощью коррелятора (рис. 6.4а) или согласованного фильтра (рис. 6.46).

В некоторых частных случаях возможны и более простые способы определения функции и нахождения оптимальной оценки Так, в радиолокации при измерении дальности пели излучают импульс и принимают отраженный от цели импульс к которому добавляется и аддитивный шум. Здесь параметр к — время запаздывания отраженного импульса, однозначно связанное с расстоянием до цели. Подав сумму отраженного сигнала и шума на фильтр, согласованный с получим на выходе фильтра напряжение, совпадающее но форме с функциями взаимной корреляции [см, (4.34)], т. е. с функцией сдвинутой на величину К — действительного запаздывания сигнала. Наблюдая эту функцию на экране иидикатора, можно по положению ее максимума оценить т. е. расстояние до цели.