8.3. РАЗДЕЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ФОРМЕ

Для разделения сигналов могут использоваться не только такие очевидные признаки, как частота, время и фаза. Наиболее общим признаком является форма сигналов. Различающиеся по форме сигналы могут передаваться одновременно и иметь перекрывающиеся частотные спектры, и тем не менее такие сигналы можно разделить, если выполняется условие их линейной независимости или условие ортогональности. Пусть в качестве переносчиков выбраны импульсы, последовательность которых образует, например, степенной ряд:

В предположении, что информация содержится в коэффициентах для группового сигнала запишем

Члены ряда (8.18) линейно независимы, и, следовательно, ни один из канальных сигналов не может быть образован линейной суммой всех других сигналов. Это легко понять, обратив внимание на то, что многочлен от вида (8.19) может быть тождественно равен нулю только в том случае, когда все его коэффициенты равны нулю.

Для разделения таких сигналов можно применить общий метод в соответствии с условием линейной независимости переносчиков (8.6), Так, при двухканалыюй передаче, имеем для интервала

если далее весовые функции выбрать удовлетворяющими условиям разделения:

то в результате операций проектирования будем иметь

[здесь

Операции (8,21) выполняются разделяющим устройством, изображенным на рис, 8,8, В отличие от устройств разделения ортогональных сигналов, здесь добавляется устройство формирования весовых функций которое из функций и образует линейные комбинации вида (8,20).

При выборе сигналов для систем многоканальной связи с разделением по форме часто используется ортогонализация сигналов — операция

преобразования линейно независимых сигналов в ортогональные.

Если, например, ортогонализовать совокупность линейно независимых функций на некотором интервале то получим систему ортогональных многочленов.

Рис. 8.8. Структурная схема разделения линейно независимых сигналов

В частности, если интервал принять равным то с точностью до постоянных множителей придем к полиномам Лежандра:

Такие сигналы могут использоваться в системах с разделением сигналов по форме, Здесь канальные сигналы передаются одновременно, их частотные спектры перекрываются, Важно подчеркнуть, что в пределах каждого интервала значения коэффициентов должны быть постоянными, чтобы не нарушать условия ортогональности полиномов,

Совокупность линейно независимых функций (8,18) можно ортогонализовать и другими способами; так мы придем к иным полиномам, например Чебышева, Лаггера, Эрмита и другим. На основе некоторых из них также разрабатываются многоканальные системы передачи информации.

В последние годы успешно развиваются цифровые методы разделения сигналов по их форме, в частности, в качестве переиосчиков различных каналов используются дискретные ортогональные последовательности в виде функций Уолша, Радемахера и другие, Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций с помощью соотношения: где аргумент безразмерное время; период функции, а положительное целое число порядок функции; знак действительного числа при при Иначе говоря, функции Радемахера, принимающие значения ±1, можно трактовать как функции «прямоугольного синуса». На рис. 8,9 приведены в качестве примера графики первых четырех функций Радемахера для . Легко видеть, что фупкиии ортонормированы на интервале

Дальнейшим развитием системы функций, имеющих форму «прямоугольной волны», является система функций Уолша Она образуется следующим образом. По определению вводится функция при Для получения функции при достаточно записать число в двоичной системе счисления, представить суммой

Рис. 8.9. Графики первых четырех функций Радемахера

где положительные целые числа. При этом функция Увлша определяется формулой

Порядок функцин Уолша равен числу знакоперемеи на интервале и определяется как для четных для нечетных На рис, 8,10 приведены графики первых восьми функций Уолша построенных по четырем функциям Радемахера.

Рис. 8.10. Графики первых восьми функций Уолша

Легко убедиться в том, что функции Уолша не только ортогональны, они обладают свойством мультипликативности. Это означает, что произведение любых двух функций Уолша также является функцией Уолша:

где В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операций, они являются весьма перспективными при разработке многоканальных цифровых систем передачи с уплотнением по форме с использованием микросхемотехники.