4.4. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА НА ОСНОВЕ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ

Скалярное произведение (4.28) можно вычислить не только с помощью активного фильтра (коррелятора), описанного в предыдущем параграфе, но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал то напряжение на выходе фильтра где импульсная реакция фильтра. Выберем ее такой, чтобы в момент получить значение совпадающее со скалярным произведением (4.28). Легко видеть, что это будет выполнено, если Действительно, при

Такой фильтр называется согласованным с сигналом . В более общем смысле фильтром, согласованным с сигналом называют линейный фильтр с постоянными параметрами и импульсной реакцией:

где постоянные. Функция оказывается зеркальным отображением относительно оси, проведенной через точку (рис. 4.7). Для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы при . В частности, финитного сигнала поступающего на вход фильтра в момент и заканчивающегося в момент условие физической реализуемости согласованного фильтра заведомо выполняется, если постоянная (называемая моментом отсчета) удовлетворяет условию

Действительно, при этом если Реакция согласованного фильтра на финитный сигнал длительностью существует лишь на финитном интервале протяженностью

Рис. 4.7. Сигнал и импульсная реакция линейного фильтра, согласованного с этим сигналом

Передаточная функция согласованного фильтра с импульсной реакцией (4.31) определяется преобразованием Фурье

где функция, комплексно-сопряженная со спектральной плотностью сигнала Следовательно, с точностью до коэффициента а амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала (т. е. фильтр хорошо пропускает те частоты, которые дают больший вклад в энергию сигнала), а его фазо-частотная характеристика (без учета слагаемого — определяемого задержкой обратна по знаку фазовой характеристике сигнала В дальнейшем будем полагать поскольку увеличение не дает никаких преимуществ и только удлиняет задержку в демодуляторе.

Если фильтр согласован с сигналом а на его входе действует колебание (в частности, смесь то отклик фильтра в соответствии с интегралом Дюамеля в момент отсчета

Это есть не что иное, как скалярное произведение в пространстве финитных функций.

Таким образом, в момент времени напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра в схеме рис. 4.4. Поэтому демодулятор, реализующий алгоритм (4.26), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого

демодулятора показана на рис. 4.8, где фильтр, согласованный с сигналом

Если на вход фильтра подан тот сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра

где временная функция корреляции сигнала. Следовательно, формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра, как правило, существенно отличаются друг от друга.

Рис. 4.8. Оптимальный демодулятор на основе согласованных фильтров

Следует, еще раз подчеркнуть, что задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно судить О присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

Отметим одно важное свойство согласованного фильтра, которое иногда рассматривается как его определение. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент отношение мгновенной мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Докажем, что это отношение максимально, если цепь является согласованным фильтром.

Пусть спектр входного сигнала, а передаточная функция некоторой линейной цепи. Тогда спектр сигнальной составляющей на выходе цепи равен С помощью обратного преобразования Фурье найдем значение в момент

Мощность шума на выходе цепи Искомое отношение

Согласно неравенству Буняковского — Шварца (2.93), (2.103) для любых комплексных функций при причем равенство имеет место только при

где а — произвольная постоянная.

Применим неравенство Буняковского — Шварца к числителю (4.37). Если положить

то получим

где отношение энергии элемента сигнала на входе фильтра к спектральной плотности белого шума.

Знак равенства согласно (4.38) и (4.39) имеет место тогда, когда передаточная функция удовлетворяет (4.33), т. е. для согласованного фильтра, что и требовалось доказать.

Рассмотрим вкратце возможности реализации согласованных фильтров. Согласованный фильтр для финитного сигнала произвольного вида можно, в принципе, построить на основе иеискажающей длинной линии, обеспечивающей задержку сигнала на время с бесконечной плотностью отводов. Практически можно брать отводы в дискретных точках с разносом где эффективная ширина спектра сигнала.

Действительно, с помощью схемы, показанной на рис. 4.9, можно с хорошей точностью синтезировать любой сигнал представленный усеченным рядом Котельникова (2.116):

где ширина спектра сигнала. Как было показано в такой сигнал можно получить на выходе идеального ФНЧ с полосой пропускания подавая на его вход последовательность -импульсов с весами через интервалы времени Это осуществляется с известным приближением в схеме рис. 4.9.

Рис. 4.9. Реализация фильтра, согласованного с произвольным непрерывным сигналом «а основе линии задержки с отводами и блоками взвешивания

Если на вход А линии в начальный момент подается один короткий единичный импульс, аппроксимирующий -функцию, то с отводов снимаются такие же импульсы, разнесенные на интервалы которые, пройдя через взвешивающие блоки поступают поочередно на вход Взвешивающие блоки содержат аттенюаторы или усилители с коэффициентом усиления а также при отрицательных инверторы.

Таким образом, схема рис. 4.9 представляет собой линейный фильтр с импульсной реакцией Легко видеть, что если входной импульс подать не в точку А, а в точку В, то будет синтезировав сигнал, представляющий зеркальное отображение Поэтому та же схема со входом в точке В оказывается фильтром, согласованным с

Существуют различные другие способы реализации фильтра, точно или приближенно согласованного с сигналом заданной формы. Так, например, фильтр, согласованный с прямоугольным видеоимпульсом длительностью который по определению (4.31) должен иметь импульсную реакцию также в форме прямоугольного импульса, можно построить по схеме рис. 4.10 а, содержащей конденсатор, линию задержки на время инвертор и сумматор. Если на вход этого фильтра подать единичный импульс (дельта-функцию), то он зарядит конденсатор до некоторого напряжения. Затем, спустя время через линию задержки и инвертор такой же входной импульс противоположной полярности поступит на конденсатор и разрядит его. Как следствие на выходе фильтра образуется в качестве импульсной реакции прямоугольный импульс.

Вариант фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом заданным на интервале показан на рис. 4.106. Он состоит из идеального колебательного контура без потерь, настроенного на частоту и фазовращателя, сдвигающего фазу колебаний контура на Линия задержки на в схеме и инвертор обеспечивают гашение колебаний фильтра вне интервала импульсная же реакция фильтра на этом интервале с учетом фазовращателя что и обеспечивает согласование согласно (4.31).

Другой вариант фильтра с коммутацией параметров (так называемый кинематический фияьтр), заменяющий фильтр, согласованный с прямоугольным радиоимпульсом, показан на рис. 4.10а. Он содержит высокодобротный

колебательиый коитур, обеспечивающий на частоте фазовый сдвиг и устройство, позволяющее гасить колебания в контуре в моменты, кратные после снятия отсчета (на схеме это осуществляется путем закорачивания емкостной и разрыва индуктивной ветвей) для освобождения контура от накопленной энергии и подготовки его к приему следующих элементов сигнала.

Рис. 4.10. Реализация согласованных факторов: а) для прямоугольного видеоимпульса; б) для прямоугольного радиоиадгульса; в) то же (фильтр с коммутацией параметров)

На рис. 4.11 и 4.12 изображены оптимальные схемы приема двоичных сигналов AM, ФМ (с частотой заполнения и ЧМ (с частотами ом и <0г), построенные на основе коммутируемого фильтра.

Рис. 4.11. Оптимальный демодулятор в системе AM или ФМ на базе коммутируемого фильтра

Рис. 4.12. Оптимальный демодулятор в системе ЧМ на базе коммутируемых фильтров

Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схемы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласования по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами имеются свои

реализационные трудности. В этом можно убедиться, сравнив, например, эпюры напряжений (без учета помех в канале) на выходе фильтра (рис. 4.136), согласованного с прямоугольным радиоимпульсом (рис. 4. 13а), и на выходе интегратора активного фильтра (рис. 4.13в). Отметим, что всюду, за исключением точки напряжения на выходах обоих фильтров отличаются друг от друга. Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени снятия отсчета максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчета максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия отсчета была мала по сравнению с тактовым интервалом а при согласованном фильтре по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоимпульса (так называемый когерентный отсчет).

Трудность обеспечения когерентного отсчета в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре.

Рис. 4.13. Сигналы на выходе согласованного фильтра и корреляционной схемы при подаче на «ход прямоугольного радиоимпульса: а) импульс на входе; б) импульс на выходе согласованного фильтра; в) напряжение на выходе интегратора активного фильтра

Отметим еще одно свойство согласованного фильтра, вытекающее из его линейности.

Если повернуть фазы всех составляющих входного сигнала на —90° в области и на 90° в области т. е. заменить входной сигнал сопряженным с ним по Гильберту то и фазы выходного сигнала повернутся таким же образом. Следовательно, сигнал, сопряженный с выходным напряжением (4.34) согласованного фильтра при подаче на вход сигнала

Другими словами, безразлично, где осуществлять поворот фаз, до фильтра или после него. Исходя из этого, можно определить огибающую на выходе фильтра, согласованного с сигналом при подаче на вход колебания

В момент времени

Легко показать, что величина инвариаитиа к изменению фазы сигнала. Пусть, например, Сопряженный с ним сигнал

Подставляя эти значения в подкоренное выражение в формуле (4.41), получим после простых преобразований независимо от 0.

Следовательно, если мы интересуемся лншь огибающей сигнала на выходе согласованного фильтра, то согласование может быть выполнено с точностью до фазы, что во многих случаях упрощает реализацию схемы.

Из (4.42) следует, что если на вход фильтра, согласованного с сигналом подать сигнал то огибающая на выходе фильтра в момент отсчета равна нулю тогда и только тогда, когда сигналы ортогональны на интервале в усиленном смысле (см. с. 64). Легко убедиться, что если ортогональны, но не в усиленном смысле, то в момент отсчета мгновенное напряжение сигнала на выходе фильтра равно нулю, однако огибающая отлична от нуля.

В технике связи для фильтрации сигнала на фоне шума часто вместо согласованных используют фильтры, характеристики которых лишь частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называют квазиоптимальными.

Так, в практике радиоприема используются так называемые квазиоптимальные линейные фильтры, форма частотных характеристик которых заранее задана и максимум параметра обеспечивается лишь соответствующим подбором ширины полосы пропускания фильтра. Квазиоптимальиый фильтр такого типа впервые исследовался В. И. Сифоровым, который рассматривал прохождение одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей через идеальный полосовой фильтр с полосой пропускания на фоне квазибелого шума.

Воспользовавшись формулой (4.37), В. И. Сифоров показал, что при отношение достигает максимума, равного

Сравнив (4.39) и (4.43), можно видеть, что при приеме одиночного импульса энергетический выигрыш оптимального фильтра по сравнению с квазиоптимальным невелик (не превышает

Таким образом, при приеме одиночных радиоимпульсов вполне допустимо ограничиться квазиоптимальной фильтрацией. Положение, однако, существенно меняется, если надлежит принимать информационные импульсы, следующие друг за другом с таким интервалом, на котором переходные процессы в квазиоптимальном фильтре не успевают затухнуть. В этих условиях качество приема с квазиоптимальной фильтрацией резко падает, в то время как при использовании оптимального согласованного фильтра качество остается прежним, так как сигнал на его выходе концентрируется на ограниченном временном интервале и к моменту отсчета для одного импульса реакция на все предыдущие нмпульсы равна нулю (см., иапример, рис. 4.136).