ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ПЕРЕДАЧА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛАХ

4.1. ПРИЕМ СИГНАЛОВ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

В этой главе основное внимание уделено модему, в частности демодулятору. На его вход (см. рис. 1.5, с. 20) поступает сигнал

<с выхода непрерывного канала, искаженный аддитивными и мультипликативными помехами. На выходе же демодулятора возникает дискретный сигнал, т. е. последовательность кодовых символов. Обычно некоторый отрезок (элемент) непрерывного сигнала преобразуется модемом в один кодовый символ (поэлементный прием). Если бы этот кодовый символ всегда совпадал с передаваемым (поступившим на вход модулятора), то связь была бы безошибочной. Но как уже известно, помехи приводят к невозможности с абсолютной достоверностью восстановить по принятому сигналу переданный кодовый символ.

Каждый демодулятор математически описывается законом, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ. Этот закон называется правилом решения, или решающей схемой. Демодуляторы с различными правилами решения будут выдавать, вообще говоря, различные решения, из которых одни будут верными, а другие ошибочными.

Будем полагать, что свойства источника сообщения и кодера известны. Кроме того, известен модулятор, т. е. задано, какая реализация элемента сигнала соответствует тому или иному кодовому символу, а также задана математическая модель непрерывного канала. Требуется определить, каков должен быть демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить оптимальное (т. е. наилучшее из возможных) качество приема.

Такая задача была впервые поставлена и решена (для гауссовского канала) в 1946 г. выдающимся советским ученым В. А. Котельниковым. В этой постановке качество оценивалось вероятностью правильного приема символа. Максимум этой вероятности при заданном виде модуляции В. А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум, — идеальным приемником. Из этого определения следует, что ни в одном реальном демодуляторе вероятность правильного приема символа не может быть больше, чем в идеальном приемнике.

На первый взгляд принцип оценки качества приема вероятностью правильного приема символа кажется вполне естественным и даже единственно возможным. Ниже будет показано, что это не всегда так и что существуют и другие критерии качества, применимые в тех или иных частных случаях.

Ознакомимся несколько подробнее со статистическим подходом к задаче приема дискретных сообщений на фоне шумов. Пусть при передаче дискретных сообщений, закодированных кодом с основанием используются реализации сигнала соответствующие кодовым символам В течение

тактового интервала на вход приемного устройства поступает колебание которое вследствие искажений и помех в канале не совпадает в точности ни с одним из сигналов Следовательно, в этом случае приемное устройство должно выбрать одну из возможных взаимоисклбчающих (альтернативных) гипотез:

Совокупность всех возможных реализаций можно интерпретировать точками в пространстве принимаемых финитных сигналов. Обычно оно является бесконечномерным пространством Гильберта или, с некоторыми (приемлемыми для практики) оговорками, многомерным пространством Евклида. Простоты ради будем графически изображать реализации принимаемых сигналов. и помехи длительностью точками на плоскости (рис. 4.1) или соответствующими векторами, откладываемыми от начала координат 0.

Рис. 4.1. Разбиения пространства принимаемых колебаний на кепересекающиеся области

Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точке пространства принимаемых колебаний (концу вектора) приписывается одна из гипотез, т. е. определенный передаваемый кодовый символ Пространство принимаемых сигналов окажется при этом разбитым на непересекающихся областей каждая из которых соответствует принятию определенной гипотезы. В такой трактовке различные приемные устройства отличаются друг, от друга способом разбиения пространства сигналов на области т. е. правилом принятия решения. Возможное разбиение схематически показано на рис. 4.1.

Пусть на интервале принимается колебание

где полезный сигнал в месте приема, прошедший канал связи, а реализация аддитивной помехи.

Если помех нет, возможные значения изображаются точками При наличии помехи и при передаче сигнала с номером точка принимаемого колебания отклоняется от точки Обычно область содержит точку, В тех случаях, когда помеха не выводит точку за пределы области решение оказывается верным. В противном случае возникает ошибка. Очевидно, изменяя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приема отдельных передаваемых символов. Например, если в разбиении, показанном на рис. 4.1, расширить область изменив ее границы с областью то уменьшится вероятность ошибочного приема символа вместо передаваемого символа Однако в этом случае возрастает вероятность ошибочного приема при передаваемом Очевидно, всегда существует такое расположение областей, которое в определенном смысле лучше всякого другого.

Если задан критерий качества, то наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов (оптимальная решающая схема приемного устройства) находится методом теории статистических решений.