4.6. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ПРИ СИГНАЛАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ФАЗОЙ (НЕКОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ)

Как было показано в § 3.4, многие каналы можно описать моделью (3.30) с флуктуирующей фазой. Естественно, если фаза (или какой-либо другой параметр) принимаемого сигнала флуктуирует настолько медленно, что путем измерения (оценки) ее можно достаточно надежно предсказать, оптимальный прием в основном реализуется так же, как при точно известном сигнале (с добавлением блоков оценки). Такая ситуация характерна для многих каналов проводной и, реже, радиосвязи. Однако нередко фаза флуктуирует довольно быстро, и точную ее оценку получить не удается. Кроме того, оценка фазы требует иногда применения сложных устройств. Поэтому даже в тех случаях, когда принципиально можно оценить начальную фазу приходящего сигнала, порой от этого отказываются и используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала неизвестна и может с равной вероятностью принимать любое значение на интервале Такой метод приема называется некогерентным.

Для вывода оптимального алгоритма некогерентного приема будем исходить из отношения правдоподобия для сигнала (относительно нулевой гипотезы), которое при точно известной начальной фазе выражается формулой (4.25). Используя представление для сигнала (3.30), где известный коэффициент передачи канала, а случайный сдвиг в канале, формулу (4.25) можно записать так:

Здесь является случайной величиной, принимающей различие значения при различных Правило максимума правдоподобия в такой ситуации заключается в выборе такого решения, для которого математическое ожидание А, будет наибольшим. Такой алгоритм кратко записывается так:

где при плотность распределения вероятности

При нахождении заметим, что второй интеграл в правой части (4.65) от не зависит и равен энергии сигнала на входе канала (на передатчике). Это ясно из того, что подынтегральной функцией является квадрат сигнала сдвинутого по фазе на что, как известно, не влияет на его энергию. Таким образом, учитывая, что получим

где

Обозначив

можно записать

где

— модифицированная функция Бесселя (2.84).

Вместо того чтобы сравнивать отношения правдоподобия можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему алгоритму оптимального некогерентного приема:

Величины можно получить в момент отсчета на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно С учетом сказанного понятно построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (4.73) (рис. 4.16).

Рис. 4.16. (см. скан) Квадратурная схема реализации оптимального приема дискретных сообщений при неопределенной фазе сигнала

Здесь генераторы опорных сигналов с точностью до начальной фазы, 90° — фазовращатель всех сигнальных компонент на 90° (преобразователь Гильберта); БОМ - блок определения модуля вектора по ортогональным компонентам; нелинейные безынерционные устройства с характеристикой

Подчеркнем, что величины не зависят от начальной фазы сигналов как видно из (4.42), пропорциональны огибающей (в моменты отсчета, кратные на выходе фильтра, согласованного с сигналом Таким образом, алгоритм (4.73) можно реализовать и на базе согласованных фильтров, как показано на рис. 4.17. Идеальный детектор выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Рис. 4.17. Схема реализации оптимального приема дискретных сообщений на базе согласованных фильтров при неопределенной фазе сигнала

Для двоичной системы с пассивной паузой, полагая, что символ 0 передается сигналом алгоритм (4.72) можно записать в виде

где пороговый уровень

а функция обратна функции При выполненин неравенства (4.74) (превышении над порогом) регистрируется символ 1, в противном случае — символ 0.

Алгоритм (4.72) и соответственно его реализация существенно упрощаются для систем с активной паузой Для них с учетом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приема можно записать так:

При его реализации в схемах рис. 4.16 и 4.17 не нужны ни блоки НУ, ни блоки вычитания. Более того, алгоритм при этом условии инвариантен относительно коэффициента передачи и спектральной плотности шума поскольку не зависит от а с изменением все значения изменяются пропорционально, что не влияет на (4.76). Именно это является основным преимуществом систем с активной паузой, определившим их широкое применение. При выводе правила решения (4.72) предполагалось, что

чайная начальная фаза распределена равномерно на интервале Однако в некоторых случаях распределение начальной фазы неравномерно, а еще чаще это распределение при построении системы связи неизвестно. В этих условиях возможны два подхода: а) построение адаптивной квазикогерентной системы, в которой путем анализа принимаемого сигнала определяется приближенная оценка фазы, используемая вместо недостающих априорных сведений, и б) принятие решения в предположении, что начальная фаза представляет собой некоторый неизвестный параметр, который так же, как и передаваемый кодовый символ, можно оценить по максимуму правдоподобия. Второй подход называют приемом по правилу обобщенного максимума правдоподобия.

Сущность этого правила заключается в следующем. Отношение правдоподобия для сигнала при известном сдвиге фазы в канале записано в формуле (4.65). Найдем для данного то значение которое обеспечивает максимум отношения правдоподобия (или его логарифма), а затем сравним полученные значения для всех и выберем из них наибольшее. Таким образом, приходим к алгоритму

Для отыскания максимума (4.65) по учтем, что, как уже говорилось, второй интеграл от не зависит. Максимум же первого интеграла найдем обычным способом, продифференцировав его по параметру и приравняв производную нулю. Это приводит к уравнению где определены формулами (4.68). Решая это уравнение, получим максимально правдоподобное значение откуда

Подставив эти значения (конечно, различные для разных гипотез) в (4.65), после простых преобразований получим следующий алгоритм решения по обобщенному максимуму правдоподобия:

Для систем с активной паузой это правило совпадает с (4.76). В этом случае алгоритм, полученный при неизвестной фазе, оцениваемой по максимуму правдоподобия, совпадает с алгоритмом, полученным в предположении, что фаза распределена равномерно.

Заметим попутно, что одной из актуальных проблем теории связи является отыскание алгоритмов решения для демодулятора, применимых при недостаточной априорной ниформации о канале и об источнике сообщения, например, об априорных вероятностях различных сигналов, о распределениях вероятностей амплитуд и фаз, о некоторых параметрах, входящих в описание сигнала и т. д. В этом направлении сделано уже очень много [12]. Конечно, чем больше объем априорной информации, тем достовернее можно принимать сообщение, например, применяя когерентный прием. Однако если сама априорная информация ненадежна, то, применяя алгоритм, учитывающий эту ненадежную информацию, можно получить результат хуже, чем при использовании алгоритма, построенного в предположении отсутствия данной априорной информации.

Исследование вероятности ошибок в канале с неопределенной фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приеме показало, что минимальную вероятность ошибки обеспечивает

система с активной паузой, у которой сигналы удовлетворяют условиям ортогональности в усиленном смысле (см. § 2.4):

Можно построить много различных ансамблей сигналов, ортогональных в усиленном смысле. К ним относятся, например, сигналы ЧМ:

где любое целое число.

Другой пример представляют сигналы с временной манипуляцией

где — любая функция из в частности, она может быть отрезком гармонического сигнала.

Еще один пример:

где любые целые числа.

Определим вероятность ошибки при приеме по алгоритму (4.76) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям (4.79). Если передается символ то с учетом (4.17), (4.68) и (4.69) имеем:

Рассуждая так же, как при выводе формул (4.48) и (4.49), легко убедиться, что величины распределены нормально с нулевым средним значением и дисперсией

Легко также показать, что коэффициенты корреляции при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю. Действительно, с учетом (4.82)

Некоррелированность гауссовских величин обеспечивает и их независимость. Как следствие, случайные величины V, и независимы, причем в соответствии с (2.76) имеет распределения Рэлея

V, в соответствии с (2.86) имеет обобщенное распределение Рэлея

Вероятность приема символа при передаче символа определится вероятностью выполнения неравенства

В полученной формуле интеграл, на первый взгляд, очень но его можно легко вычислить с помощью теории вероятностей. Если заменить переменную, положив то окажется, это интеграл от плотности вероятностей (2.86) случайной величины имеющей обобщенное распределение Рэлея, с

параметрами Так как интеграл берется по всей области определения то он равен 1. Окончательно

где, как и раньше, отношение энергии элемента принимаемого сигнала к спектральной плотности мощности шума.

Из соображений симметрии ясно, что такова же будет вероятность приема символа при передаче Поэтому вероятность ошибки не зависит от передаваемого символа. Она одинакова для всех двоичных систем, ортогональных в усиленном смысле (при одинаковых энергиях сигнала), и определяется формулой (4.88). В частности, эта формула справедлива для системы ЧМ, для системы с временной манипуляцией и любых других систем, для которых выполняется (4.79).

На рис. 4.18 показана зависимость согласно (4.88) (кривая 2). Там же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приеме, определяемая формулой (4.57) (кривая I).

Рис. 4.18. Зависимости вероятности ошибки в двоичной системе с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле (например, ЧМ), от при оптимальном приеме и различных параметрах канала: 1 — канал с постоянными параметрами (когерентаый прием); 2 — канал с неопределенной фазой без замираний (ие-когереитиый прием); 3 — обобщенные рэлеевские замирания: 4 — рэлеевские замирания; 5 — одностороние-нормальные замирания. Аддитивный шум во всех случаях белый

Величина для удобства выражена в децибелах, а вероятности ошибок отложены в логарифмическом масштабе.

Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы связи (с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле)

априорное знание фазы и осуществление когерентного приема дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем некогерентного приема. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки.

При основании кода для систем с активной паузой ортогональных в усиленном смысле, при оптимальном некогерентном приеме вероятность ошибок выражается довольно сложной формулой [17]. При небольших вероятностях достаточно плотную оценку можно получить из неравенства Буля:

Систему так же как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на , при некогерентном приеме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако разности фаз между двумя элементами сигнала различаются, если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно. Поэтому вполне возможен некогерентный прием при ОФМ.

Поскольку при ОФМ информационный параметр сигнала определяется двумя соседними элементами на интервале на интервале то оптимальный алгоритм (4.76) можно записать в виде

Приходящий сигнал на двух тактовых интервалах при ОФМ можно представить в зависимости от символа, передаваемого элементом, так:

где случайная начальная фаза, неизвестная при приеме, зависящая, в частности, от символа, передававшегося элементом.

Нетрудно видеть, что (4.91) представляет собой двоичную систему сигналов с активной паузой, ортогональную в усиленном смысле на интервале длительностью а не Поэтому вероятность ошибки при приеме сигналов ОФМ по алгоритму (4.90) определяется на основании (4.88), но с учетом того, чтоэнергия сигнала на интервале — равна

где параметр отношение энергии сигнала на интервале длительностью к спектральной плотности шума. Как и следовало ожидать, вероятность ошибки (4.92) несколько больше, чем вычисленная для когерентного приема двоичной ОФМ (4.59), однако различие между ними совершенно ничтожно.

Для схемной реализации алгоритм (4.90) можно упростить. Для этого подставим систему сигналов (4.91) в (4.90) и после сокращения одинаковых слагаемых приведем алгоритм приема к виду

где

Полагая фазу хотя и случайной, но постоянной на интервале можно легко показать, что левая часть (4.93) инвариантна к значению этой фазы.

На рис. 4.19 показана корреляционная схема, реализующая алгоритм приема (4.93) на основе активных фильтров.

Рис. 4.19. Схема оптималь» ного некогерентного приема сигналов ОФМ на базе активных фильтров

Величины получаются путем интегрирования произведения элемента принимаемого колебания на опорные сигналы на интервале длительностью

В моменты времени, кратные величины снимаются непосредственно с интеграторов, с выхода цепи за: держки на время На рис. 4.19 не показаны цепи, осуществляющие сброс интегратора к концу интервала интегрирования и ввод накопленного на нем результата в перемножитель и цепь задержки на время

Структурная схема, реализующая алгоритм (4.93) на основе коммутируемых фильтров и используемая в различных вариантах систем с ОФМ, показана на рис. 4.20.

Рис. 4.20. Схема оптимального некогерентного приема сигналов ОФМ на основе коммутируемых фильтров

В момент приходящее колебание подается на первый фнльтр (резонансный контур с высокой добротностью), который до этого приведен к нулевым начальным условиям путем гашення колебаний. В момент входное колебание переключается на второй фильтр, тоже приведенный к нулевым начальным условиям. В первом фильтре продолжаются собственные колебания момента отсчета Колебания с двух фильтров поступают на фазовый детектор (выполняющий функцию перемножения входных сигналов и интегрирования результата). В момент входной сигнал опять подключается к первому фильтру, а колебания во втором фильтре продолжаются до момента Можно показать, что знак напряжения на выходе фазового детектора в моменты, кратные позволяет принять нужное решение. Существуют и другие схемы некогерентного приема сигналов с ОФМ.

При некогерентноя обработке высокочастотных сигналов (обработке по огибающей) снижаются требования к точности установки границ посылок элементарных канальных сигналов длительностью Все же для реализации оптимальной схемы средняя частота заполнения сигналов должна быть известна с высокой точностью. Во всяком случае, если отклонение средней частоты от номинального значения существенно меньше

то «набег фазы» средней частоты на интервале (т. е. величина существенно меньше и можно пользоваться полученными выше алгоритмами оптимального приема и формулами для минимальной вероятности ошибок.

Остановимся кратко на некоторых схемах неоптнмального приема при неопределенной фазе сигнала, широко используемых в современной аппаратуре связи. При приеме сигналов двоичной AM распространена схема рис. 4.21. Здесь амплитудный детектор и фильтр нижних частот ФНЧ выделяют огибающую принимаемого колебания, прошедшего входной избирательный блок (полосовой фильтр с эффективной полосой пропускания достаточной для получения всех наиболее существенных компонент сигнала.

Рис. 4.21. Схема неоптимального приема сигналов AM методам сравнения огибающей с пороговым уровнем

Огибающая с выхода ФНЧ в определенные моменты времени (например, в середине посылки) сравнивается в с некоторым пороговым уровнем При выполнении неравенства

регистрируется символ 1, в противном Сравнивая (4.96) с алгоритмом (4.74), можио видеть, что схема рис. 4.21 отличается от оптимальной некогерентной схемы рис. 4.17 использованием полосового фильтра и последетекторного фильтра нижних частот, вместо одного согласованного фильтра до детектора.

При приеме сигналов двоичной ЧМ распространена схема рис. 4.22, где разделительные полосовые фильтры, пропускающие без существенных искажений соответственно сигналы амплитудный детектор. Разностный сигнал двух детекторов подвергается фильтрации в а результат для выбора решения сравнивается с нулевым порогом.

Анализ такой схемы приводит к следующим результатам. Вероятность ошибок в схеме рис. 4.22 больше, чем при оптимальном некогерентном приеме, причем ее возрастание обусловливается двумя основными факторами:

а) уменьшением отношения мощности сигнала к мощности шума по сравнению с согласованным фильтром;

б) межсимвольными помехами, создаваемыми переходными процессами в фильтрах (остаточными собственными колебаниями, возникшими в результате воздействия предыдущих элементов сигнала).

Как указывалось в § 4.4 (см. с. 138), первый из этих факторов вызывает наименьшую потерю помехоустойчивости, если полоса пропускания полосового фильтра Однако при такой полосе пропускания весьма существенные погрешности вносятся за счет второго фактора — межснмвольной интерференции.

Рис. 4.22. Схема неоптимальиого некогерентного приема сигналов ЧМ с разделительными полосовыми филыграми

Поэтому наименьшая вероятность ошибок в схеме с полосовыми разделительными фильтрами при отсутствии ФНЧ достигается при более широкой полосе пропускания, примерно при Можно показать, что для получения одинаковой вероятности ошибок в схеме с полосовыми разделительными фильтрами требуется в раз (в данном примере в 3 раза) большая мощность сигнала, чем в схеме оптимального некогерентного приема, что и определяет энергетический пронгрыш при замене согласованных фильтров полосовыми.

Схемы приемников с неоптнмальной фильтрацией до и после детектора широко используются на практике в тех случаях, когда частотная стабильность недостаточна, т. е. условие не выполняется, и, следовательно, реализация оптимального приема с согласованной фильтрацией фактически невозможна. Это имеет место, например, вследствие эффекта Допплера при связи с движущимися объектами или при использовании движущегося спутника для ретрансляции при больших нестабильностях частот автогенераторов и т. п.

Если полосы пропускания входных фильтров в схемах рис. 4.21 и 4.22 удовлетворяют условию то сигнал останется в полосе пропускания фильтра при всевозможных флуктуациях частот. При этом величина может оказаться значительно больше 1, и не будь фильтрации сигнала после детектора, энергетический проигрыш по сравнению с оптимальным приемом при стабильной частоте сигнала был бы весьма существен. Однако есть возможность значительно уменьшить этот пронгрыш, применив фильтрацию напряжения, снимаемого с выхода детектора. При полосовой фильтр почти не искажает огибающую входного сигнала, поэтому при отсутствии помех напряжение на выходе детектора в схеме рис. 4.21 представляет собой однополярные видеоимпульсы, а на выходе блока вычитания схемы рис. -двухполярные. При небольшом уровне шума на входе детектора условия на его выходе приближенно такие же, как при приеме прямоугольных видеоимпульсов на фойе белого гауссовского шума. Поэтому естественно включить после детектора фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом (рис. 4.10а), либо эквивалентный ему коммутируемый интегратор (рис. 4.4). На практике часто применяют и несогласованный последетекторный фильтр нижних частот, как это показано в схемах рис. 4.21, 4.22.

Теория таких схем довольно сложна. Она показывает, что при использовании полосовых разделительных фильтров и согласобанного ФНЧ прием сигналов ЧМ осуществляется с вероятностью ошибки, ненамного большей, чем при оптимальном некогереитном приеме. Энергетический проигрыш оценивается здесь величиной При несогласованном, достаточно узкополосном ФНЧ

энергетический проигрыш больше, но обычно не превышает 4-5 дБ. Роль ФНЧ определяется тем, что его полоса пропускания может выбираться независимо от стабильности несущей частоты. Поэтому последетекторная фильтрация в некоторой степени окупает недостаточную (вследствие нестабильности частоты) фильтрацию до детектора.