6.5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

Определим условия оптимального приема непрерывных сообщений (функций времени). Пусть сообщение представляет собой некоторый процесс (первичный сигнал) Он может непрерывно изменяться со временем и принимать любую форму. Такие сообщения встречаются, например, в телефонии, телевидении, телеметрии.

Для простоты анализа будем считать, что функция принимает значения в пределах от +1 до —1. Будем также полагать, что реализации сообщения принадлежат -мерному евклидову пространству и, следовательно, могут быть разложены по ортонормированному базису

где случайные параметры, определяющие передаваемую информацию. Обычно пространство к которому принадлежат сообщения, — это пространство финитных функций длительностью представимых тригонометрической суммой (см. с. 62).

Тогда отрезки гармонических функций:

Для передачи по каналу колебание преобразуется в сигнал Поскольку колебание (6.70) определяется параметрами то и сигнал будет зависеть от этих параметров. Принятый сигнал вследствие наложения помехи равен

Таким образом, задача оптимального приема непрерывного сообщения сводится к задаче совместного оптимального приема совокупности многих параметров Эта задача является обобщением рассмотренной в § 6.4 задачи оптимальной оценки одного параметра.

Итак, по реализации необходимо восстановить переданное сообщение с возможно большей точностью, хотя бы при слабых помехах. Как мы уже установили, для этого необходимо на основе анализа принятого колебания найти максимум в пространстве апостериорного распределения:

или при минимум интеграла

Таким образом, оптимальный приемник должен воспроизводить сообщение при котором среднеквадратическое отклонение имеет минимальное значение. При отсутствии помех такой приемник воспроизводит сообщение без искажений (без ошибок): а при наличии помех ошибка будет минимальной.

Из условия (6.73) следует, что операции оптимальной фильтрации и детектирования дают достаточное решение задачи об извлечении максимальной информации из принятого сигнала относительно переданного сообщения Структурная схема приемника с оптимальным фильтром приведена на рис. 6.7.

Теория линейной фильтрации Колмогорова — Винера для нормальных стационарных процессов была рассмотрена в § 6.2. Практическая реализация оптимальных фильтров сопряжена с большими трудностями. А если учесть, что реальные модулированные сигналы не являются стационарными нормальными процессами, то задача построения оптимального фильтра на базе линейной теории становится практически неразрешимой. Поэтому представляет интерес рассмотрение других путей построения оптимального приемника непрерывных сообщений.

Запишем выражение (6.72) в другом виде, подобном выражению

Отсюда следует, что при известной априорной вероятности определение апостериорной вероятности сводится к вычислению функции т. е. скалярного произведеиия принятого колебания на переданные (ожидаемые) сигналы Такая обработка может быть реализована с помощью многоканального устройства, аналогичного устройству, показанному на рис. 6.3. Однако схема этого устройства теперь существенно усложнится вследствие того, что передаваемое сообщение определяется не одиим, а большим числом параметров.

Рис. 6.7. Структурная схема приемника непрерывных сигналов

Рис. 6.8. Структурная схема приемника следящим фильтром

Во многих случаях целесообразно применение более простых, следящих устройств. Рассмотрим принципиальную возможность построения таких устройств. Подробное и более строгое обоснование на основе теории нелинейной фильтрации приводится в § 6.10.

При передаче непрерывных сообщений сигнал не является полностью известным. Однако обычно имеется некоторая априорная информация об этом сигнале. Известны, например, несущая частота, вид модуляции, ширина спектра сигнала и Часть информации можно получить в результате наблюдения над принятой реализацией сигнала за предшествующий промежуток времени. В результате имеется возможность определить оценку сигнала и вычислить функцию для этой оценки:

Функцию можно вычислить с помощью фильтра с переменными параметрами (рис. 6.8) или схемы следящего коррелятора (рис. 6,9). Каждая из этих схем имеет основной информационный капал, на выходе которого получается оценочное значение передаваемого сообщения, и капал обратной связи, с помощью которого в схеме рис, 6.9 формируется опорный сигнал а в схеме рис. 6.8 производится изменение параметров фильтра. В схеме рис. 6.8 с помощью управляющего элемента производятся изменения параметров фильтра так, чтобы был согласован с непрерывно изменяющимся ожидаемым сигналом В схеме рис. 6.9 с помощью изменяется модулируемый параметр несущего колебания, формируемого генератором При частотной модуляции, например, этим

Рис. 6.9. Структурная схема следящего корреляционного приемника

параметром будет частота, при временной импульсной модуляции — сдвиг импульсов но времени и т. п. Фильтр нижних частот ФНЧ в этой схеме выполняет роль интегратора на интервале наблюдения который связан с максимальной частотой в спектре передаваемого сообщения соотношением

Рассмотренные схемы являются квазиоптимальными, поскольку получаемая оценка не является наилучшей возможной. При различных видах модуляции принцип следящего приема остается одним и тем же. Вид модуляции определяет параметр, за которым должно осуществляться слежение. Иначе говоря, оптимальный приемник должен с наименьшей ошибкой следить за передаваемым случайным колебанием Схемы следящего приема позволяют практически реализовать помехоустойчивость, близкую к потенциальной.

Перейдем к определению помехоустойчивости систем связи при оптимальном приеме. Заметим, что эту потенциальную помехоустойчивость можно вычислить, не уточняя структуры оптимального демодулятора. Для этого достаточно знать, что он выдает решение соответствующее максимуму (6.74).

Прежде чем приступить к выводу формул, определяющих потенциальную помехоустойчивость, напомним основные принципы классификации видов модуляции при передаче непрерывных сообщений. В общем случае модуляция заключается в том, что множество сообщений (первичных сигналов) преобразуется (отображается) в множество вторичных сигналов Этой записью подчеркивается, что значение сигнала

5 в некоторый момент определяется в общем случае всем поведением сообщения на всей оси времени.

В частном случае, если сигнал в любой момент зависит не от всего хода сигнала а только от его значения в момент то система модуляции называется прямой. К прямым относится подавляющее большинство применяемых методов модуляции. Остальные системы модуляции, в которых зависит от общего поведения сигнала называются непрямыми. Среди них особый интерес представляют интегральные системы, в которых входит в выражение под интегралом.

Система модуляции называется линейной, если можно получить из с помощью линейных операций. Линейные системы могут быть прямыми (например, амплитудная — и непрямыми (например, однополосная —

Геометрически модуляцию можно рассматривать как отображение пространства сообщений В в пространство сигналов , а демодуляцию — как обратное отображение. При демодуляции помеха на входе приемника отображается в погрешность вценки сообщения (шум воспроизведения или шум на выходе приемника)

Рассматривая прием непрерывного сообщения на фоне белого гауссовского шума как оценку совокупности параметров в представлении (6.70) и повторяя рассуждения предыдущего параграфа, можно прийти к следующим результатам. При достаточно слабых помехах погрешность или шум воспроизведения на выходе приемника представляет собой гауссовский процесс, спектральная плотность которого определяется

так: по формуле (6.66) можно вычислить погрешность оценки каждого параметра в выражении (6.71), а мощность шума на выходе приемника в полосе вокруг частоты будет равна где и соответственно коэффициенты при косинусной и синусной составляющих на частоте в (6.71). Тогда с учетом (6.66) спектральная плотность шума на выходе при будет

В большинстве практических случаев для аналоговых видов модуляции и тогда

Для прямых систем модуляции, в которых сообщение входит непосредственно в выражение сигнала можно записать

Тогда

а спектральная плотность мощности шума на выходе приемника

Таким образом, при прямых системах модуляции шум на выходе приемника квазибелый, т. е. имеет равномерный спектр в полосе частот

В случае интегральных систем сообщение входит в выражения сигнала под знаком интеграла: где Так как то Следовательно, энергетический спектр шума на выходе приемника для таких систем можно определить как энергетический спектр производной На основании известной теоремы о спектре производной где определяется по формуле (6.77), если в последней вместо подставить Таким образом, для интегральных систем энергетический спектр шума на выходе приемника будет

т. е. энергетический спектр помехи на выходе приемника в интегральных системах — параболический (пропорционален квадрату частоты).

Все эти результаты получены, как и в предыдущем параграфе, для слабых помех, когда можно считать Они характеризуют нормальные ошибки.

Мощность шума на выходе приемника в полосе частот от нуля до очевидно, равна

С другой стороны, мощность сообщения на выходе приемника, равную можно выразить через пик-фактор сообщения макс Учитывая принятое нормирование сообщения получим

Заметим, что для гармонического сигнала а для телефонного сообщения

В качестве меры верности передачи непрерывного сообщения можно принять отношение его мощности к мощности шума на выходе приемника:

Обозначим отношение мощности сигнала к мощности шума (в полосе частот сигнала на входе приемника.

Отношение

называется выигрышем системы модуляции и может служить мерой ее помехоустойчивости. При отношение сигнал/помеха в процессе демодуляции возрастает. Заметим, впрочем, что в некоторых случаях так что вместо выигрыша система модуляции может дать проигрыш.

При сравнительной оценке различных систем связи неудобно пользоваться величиной выигрыша. Дело в том, что в различных системах сигналы могут иметь различную ширину спектра. Если помеха в канале имеет постоянную спектральную плотность, то мощность помехи на входе приемника будет выше для системы с более широкополосным сигналом. Если две системы связи в одном и том же канале при одинаковой мощности сигнала обеспечивают одинаковое качество воспроизведения сообщения (одинаковое то их следует считать равноценными по

помехоустойчивости. В то же время, если сравнивать их по величине выигрыша то придется отдать предпочтение системе с более широкополосным сигналом, так как у нее меньше. При переходе от узкополосной системы к широкополосной наряду с выигрышем имеет место и проигрыш, поскольку мощность шума на входе демодулятора возрастает пропорционально расширению спектра сигнала.

Это противоречие можно устранить, если сравнивать отношения мощностей сигнала не к мощностям помехи, а к их средним спектральным плотностям, т. е. определять реальный или «обобщенный выигрыш системы».

где

Заметим, что в системе непосредственной передачи, в которой сигнал пропорционален передаваемому сообщению выигрыш (6.80) и обобщенный выигрыш (6.81) одинаковы и равны единице: Это означает, что введенный критерий выигрыша сводится к сравнению данной системы передачи с системой непосредственной передачи.

Используя теорему Шеннона (см. § 6.2), можно найти максимальные возможные значения выигрыша и обобщенного выигрыша при заданных параметрах системы связи. Рассмотрим этот вопрос для наиболее простого случая, когда непрерывное сообщение представляет гауссовский процесс с равномерным спектром в полосе частот (квазибелый шум), а в канале существует аддитивная помеха в виде белого шума с односторонней спектральной плотностью Согласно теореме Шеннона передача сообщения с заданным значением возможна в случае, когда Здесь эпсилон-производительность источника, которая в данном случае согласно равна пропускная способность гауссовского канала, равная согласно (3.64)

В гипотетической идеальной системе связи, в которой полностью используется пропускная способность канала и

В реальных системах связи обычно удается лишь частично использовать пропускную способность канала. Назовем эффективностью системы модуляции отношение эпсилон-производительности источника к минимальной пропускной способности канала,

при которой обеспечивается заданная верность, Для такой реальной системы вместо (6.82) имеем

Из этих выражений видно, что при можно обеспечить высокую верность (большое значение при относительно малых т. е. получить большой выигрыш

Таким образом, выигрыш достигается в результате обмена ширины спектра на динамический диапазон, о чем говорилось в § 1.2. Большой выигрыш можно получить только при большом отношении Заметим, что большой выигрыш может иметь место и при малой эффективности и наоборот. Следовательно, при оценке различных систем связи необходимо учитывать, по крайней мере, два показателя: эффективность и помехоустойчивость. Совокупность этих двух показателей составляет достаточно полную характеристику системы.

Наилучшей системой считается такая, которая обеспечивает наибольшую помехоустойчивость при заданной эффективности либо наибольшую эффективность при заданной помехоустойчивости.

Система, в которой пропускная способность канала используется полностью называется идеальной (ИС). Для такой системы из (6.82) следует

Отсюда при получаем

Таким образом, в идеальной системе выигрыш возрастает с увеличением а по экспоненциальному закону. Никакая реальная система не может обеспечить при заданном а более высокую помехоустойчивость, чем идеальная система.