3.2. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ КАНАЛЫ С ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается изменениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены, прежде всего, линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также наличием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов. С точки зрения передачи информации по каналу, важно подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Как уже отмечалось (см. § 2.9), обратимые преобразования не влекут за собой потери информации. Это значит, что взаимная ииформация между сигналами на входе и выходе канала равна собственной информации входного сигнала. При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обратимых преобразований сигнала часто используют термин «искажение», а необратимые преобразования называют помехами (аддитивными и неаддитнвными).

Примером простейшего детерминированного обратимого преобразования входного сигнала которое не меняет его форму, служит

В данном случае выходной сигнал канала отличается от входного лишь известным масштабом который легко компенсируется соответствующим усилением или ослаблением сигнала и постоянной задержкой во времени Задержка сигнала во времени приводит к задержке приема информации, но не к потере ее. Она чаще всего невелика. По существу, лишь при связи в масштабах космоса или при очень большом числе реактивных элементов в линии связи задержка может оказаться ощутимой.

Если входной сигнал в (3.1) узкополосный, его удобно представить в квазигармонической форме (2.68): где медленно меняющиеся функции. Поэтому при достаточно малой задержке можно в

первом приближении считать а выходной сигнал в (3.1) записать следующим образом:

где — фазовый сдвиг в канале.

Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к некоторому сдвигу фазы.

В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шумом, преобразования сигналов имеют сложный характер и обычно приводят к отличию формы выходного сигнала от входного.

Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов:

1. По данной корреляционной функции (или энергетическому спектру) входного воздействия найти корреляционную функцию (энергетический спектр) отклика на выходе динамической системы, заданной ее характеристиками.

2. Зная многомерные распределения входного воздействия найти многомерные распределения отклика на выходе заданной динамической системы.

Вторая из указанных задач является более общей. Из ее решения, очевидно, может быть получено решение и первой задачи. Однако в дальнейшем в основном ограничимся кратким рассмотрением первой задачи и лишь укажем возможные пути решения второй, более сложной задачи.

Прохождение случайных сигналов через детерминированные линейные цепи. Как известно, линейная цепь с постоянными параметрами характеризуется своей импульсной реакцией или ее преобразованием Фурье — передаточной функцией Если, например, на вход цепи поступает центрированный процесс то процесс на выходе определяется интегралом Дюамеля

В физически реализуемой цепи при Поэтому нижний предел в (3.3) можно заменить нулем.

Найдем функцию корреляции центрированного выходного процесса

где функция корреляции входного сигнала.

Пусть входной процесс стационарен. Тогда где Введем также обозначения Тогда и

где использована «временная функция корреляции» от неслучайной импульсной реакции В данном случае

Из (3.4) видно, что при стационарном входном процессе и выходной процесс оказывается стационарным, так как не зависит от Поэтому можно записать

Полученное равенство является аналогом интеграла Дюамеля для корреляционных функций. Таким образом, ФК выходного процесса является интегральной сверкой ФК входного процесса и ВФК импульсной реакции цепи. Заметим, что ВФК импульсной реакции связана преобразованием Фурье с квадратом модуля передаточной функции или амплитудно-частотной характеристики цепи. Действительно,

Из теории преобразования Фурье известно, что преобразование Фурье от свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье от этих функций. Применив это к (3.5), получим простое соотношение между спектральными плотностями

стационарных процессов на входе и на выходе линейной цепи с постоянной передаточной функцией

Из (3.5) и (3.7) следует, что ФК и спектр процесса на выходе цепи полностью определяются ФК или спектром процесса на входе и цепи, т. е. не зависят ни от распределения вероятностей входного процесса, ни от фазо-частотной характеристики цепи.

При подаче сигнала на детерминированную линейную цепь с переменными параметрами выходной сигнал как известно, можно выразить интегралом свертки:

где функция двух переменных, определяющая реакцию системы в момент на -импульс, поданный на вход в момент

Преобразование Фурье по переменной

представляет передаточную функцию линейной цепи с переменными параметрами, которая, естественно, является функцией не только частоты, но и времени.

Поскольку в физически реализуемой цепи отклик не может возникнуть раньше воздействия, при Поэтому в (3.8) и (3.9) нижний предел можно заменить нулем.

Пусть на вход линейной цепи с передаточной функцией (3.9) поступает стационарный сигнал со спектральной плотностью мощности

Нетрудно показать, что ФК выходного сигнала равна обратному преобразованию Фурье от

где характеристика системы с переменными параметрами [12].

Заметим, что сигнал на выходе цепи с переменными параметрами в общем случае является нестационарным процессом, даже если входной сигнал стационарен.

Уравнение (3.3) является частным случаем уравнения (3.8), если в линейной системе параметры могут считаться неизменными во времени. В этом случае реакция зависит лишь от разности моментов наблюдения отклика и подачи воздействия

Другой простой частный случай линейной цепи имеет место, когда импульсная реакция Эта цепь является

безынерционной и представляет собой перемножитель. Действительно,

В несколько более общем случае, когда линейная цепь с переменными параметрами сводится к каскадному соединению перемножителя и цепи с постоянными параметрами, так как

Приведем еще один пример: цепь с переменной задержкой, в которой где а — постоянной масштабный множитель; некоторая известная функция времени. Выходной сигнал

Передаточная функция этой цепи 00

Корреляционная функция выхода согласно (3.10)

Очевидно, что интеграл выражает корреляционную функцию ироцесса при аргументе следовательно,

Если система обеспечивает неизменную во времени задержку то и корреляционная функция выходного сигнала с точностью до постоянного множителя равна корреляционной функции входного.

Рассмотрим случай, когда задержка линейно зависит от времени, т. е. где k — коэффициент пропорциональности.

Такая задержка возникает, например, в системе радиосвязи или акустической связи, если точки приема и передачи находятся в относительном движении (например, при связи через спутник из-за перемещения спутника относительно антенны приемника). В этом случае где с — скорость распространения сигнала в среде, радиальная составляющая скорости взаимного движения передатчика относительно приемника, причем имеет положительный знак при их взаимном удалении и отрицательный при сближении. Обычно Вместо (3.16) можно теперь записать

т. е. при стационарном воздействии процесс на выходе четырехполюсника остается стационарным.

Корреляционной функции (3.17) соответствует энергетический спектр

Таким образом, линейное изменение задержки приводит к смещению средней частоты спектра на величину (допплеровскому смещению частоты) и, кроме того, — сужению или расширению энергетического спектра процесса, а также изменению масштабного множителя. В обычных условиях, корда только первый из этих эффектов может иметь существенное значение.

Задача нахождения распределения вероятностей отклика линейной системы при произвольном случайном воздействии оказывается в общем случае весьма сложной, даже если ограничится нахождением одномерного распределения. Отметим, однако, что если на вход линейной детерминированной системы подан гауссовский процесс, то и процесс на выходе оказывается гауссовским, что следует из известных свойств нормального распределения, которое остается нормальным при любых линейных преобразованиях. Если процесс на входе не гауссовский, то при прохождении линейной системы его распределение вероятностей меняется иногда весьма существенно.

Отметим общее свойство, присущее узкополосным линейным системам. Если полоса частот занимаемая входным сигналом много шире полосы пропускания данной линейной системы то распределение выходного процесса имеет тенденцию приближаться к нормальному. Это можно грубо пояснить, исходя из мулы (3.8). Узость полосы пропускания означает, что длительность импульсной реакции как функции велика по сравнению с интервалом корреляции входного процесса Поэтому сечение выходного процесса в любой момент определяется интегралом (3.8), в подынтегральную функцию которого с достаточно большим весом входит много некоррелированных между собой сечений процесса Распределение вероятностей такого интеграла согласно центральной предельной теореме должно быть близким к нормальному, тем ближе, чем больше отношение ширины спектра входного сигнала к полосе пропускания цепи. В предельном случае, если на вход цепи воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна, а цепь имеет ограниченную полосу пропускания, то выходной процесс будет гауссовским.

Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи. Ограничимся рассмотрением только безынерционных нелинейных систем с регулярными параметрами, у которых вход и выход связаны некоторой нелинейной зависимостью, называемой характеристикой системы:

Соотношением вида (3.19) достаточно точно может быть охарактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, например входящих в состав демодуляторов, ограничителей, модуляторов и т. п. Преобразование как правило, однозначно, что не всегда можно сказать об обратном преобразовании (например, квадратичная цепь с характеристикой В силу неприменимости суперпозиции к нелинейным системам рассмотрение сложного воздействия (например, суммы

детерминированного и случайного слагаемых) нельзя свести к рассмотрению прохождения каждого из компонентов в отдельности.

При нелинейных преобразованиях возникает трансформация (изменение) спектра входного воздействия. Так, если на вход нелинейной системы воздействует смесь регулярного сигнала и аддитивного шума в узкой полосе частот группирующейся около средней частоты то в общем случае на выходе будут присутствовать составляющие комбинационных частот трех видов, группирующиеся около частот : продукты биений составляющих входного сигнала между собой продукты биений составляющих входного шума продукты биений сигнала и шума Разделить их на выходе системы обычно невозможно.

Если известны характеристика нелинейной системы и двумерная функция распределения входного воздействия , то статистические характеристики выходного процесса, в принципе, всегда можно определить. Так, математическое ожидание отклика

а его корреляционная функция 00

Обратным преобразованием Фурье можно по (3.21) найти и энергетический спектр.

Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно, в принципе, находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределение входного процесса. Однако определение вероятностных характеристик отклика нелинейных систем (цепей) даже на стационарные входные воздействия оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специальных приемов. Во многих случаях, особенно для узкополосных сигналов, эти расчеты существенно упрощаются при использовании квазигармонического представления процесса.