2.6. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В РЯД ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ

Пусть -полный ортогональный базис, некоторый вектор в дачном пространстве. Определим числа следующим образом:

и построим ряд В случае конечномерного пространства этот ряд вырождается в конечную сумму. Имеет место равенство

называемое разложением вектора х по базису . В случае конечномерного пространства это равенство понимается в обычном смысле, в случае же бесконечномерного пространства — в смысле сходимости по норме, т. е.

Ряд (2.98) называют обобщенным рядом Фурье, а числа коэффициентами Фурье по данному базису.

Докажем равенство (2.98) для конечномерного пространства. Предположим, что оно неверно. Тогда вектор Умножим его скалярно на любой вектор из нашего ортогонального базиса. Учитывая (2.97), получим

и так как по предположению у — ненулевой вектор, то он ортогонален всем векторам базиса, что противоречит полноте базиса. Это противоречие и

доказывает (2.98). Аналогичное доказательство можно провести и для бесконечномерного базиса, но потребуются более тонкие аргументы для доказательства сходимости ряда.

В случае ортонормировапного базиса Тогда, умножив скалярно обе части равенства (2.98) на вектор х, найдем

Равенство

называется равенством Парсеваля. Оно выполняется для любого вектора только при полном ортонормированном базисе.

Два векторных пространства называются изоморфными, если между элементами х и у можно установить взаимно однозначное соответствие и при этом выполняются следующие условия: если элементам соответствуют элементы то элементу соответствует элементу соответствует Очевидно, что если пространство изоморфно 38, а изоморфно то и изоморфно

В дальнейшем будет идти речь о различных функциональных пространствах. Одним из них является евклидово «-мерное пространство Его образует, например, множество периодических функций с периодом представляемых в виде конечной тригонометрической суммы (разложения по ортогональному базису

Скалярное произведение в этом пространстве определяется следующей формулой:

Такое же пространство образуют финитные функции, заданные на интервале или д., если на этом интервале их можно представить суммой (2.101).

Эти пространства изоморфны пространству «-мерных векторов, представляющих упорядоченные последовательности из и действительных чисел со скалярным произведением

Важную роль в теории играет бесконечномерное пространство финитных функций с интегрируемым квадратом или периодических функций с периодом Их можно представить на интервале рядом Фурье (2.101) при Скалярное произведение определяется также формулой (2.102). Это пространство изоморфно пространству бесконечных упорядоченных последовательностей чисел удовлетворяющих условию

Функции с интегрируемым квадратом, заданные на бесконечной оси времени, образуют пространство в котором скалярное произведение определяется выражением

В функциональном анализе доказывается, что действительные пространства изоморфны.

Аналогичные функциональные пространства образуют и комплекснозначные функции при соответствующем определении скалярного произведения. Так, для комплексного пространства

Оно изоморфно пространству бесконечных последовательностей комплексных чисел удовлетворяющих условию для которого скалярное произведение определяется выражением

Подпространство комплексного пространства содержащее только аналитические периодические сигналы (т. е. такие функции, в которых мнимая часть является преобразованием Гильберта от действительной части), также изоморфно всему комплексному пространству

Заметим, что неравенство Коши-Бупяковского-Шварца (2.93) в пространстве принимает вид

причем пределы интегрирования охватывают область определения пространства, например, от до для пространства или от до для

Не всегда взаимно однозначное соответствие элементов двух пространств означает изоморфизм. Пусть — действительное пространство пространство при том же периоде Между ними существует взаимно однозначное соответствие комплексной функции из соответствует в ее действительная часть. Однако это соответствие не является изоморфизмом. Это видно из того, что двум ортогональным сигналам из пространства могут соответствовать два неортогональных сигнала из пространства этом примере

не ортогональны, так как

С другой стороны, существуют ортогональные сигналы в пространстве которым и в пространстве соответствуют ортогональные сигналы (например, сигналам в пространстве соответствуют также ортогональные сигналы

В теории передачи сигналов два сигнала, называются ортогональными в усиленном смысле, если соответствующие им аналитические сигналы также ортогональны. Легко убедиться, что для этого все четыре действительных сигнала, должны быть попарно ортогональны. Заметим, что пара сопряженных по Гнльберту сигналов (например, всегда ортогональна, поскольку преобразование Гильберта сводится к повороту фаз на 90°. Кроме того, из ортогональности следует также ортогональность Поэтому для проверки ортогональности в усиленном смысле достаточно убедиться в ортогональности двух

Рассмотрим еще пространство элементами которого являются последовательности чисел где принимают только значения 0 или 1. Сложение в этом пространстве производится поразрядно по модулю 2:

где знак означает сложение по правилу (2.88). В отличие от остальных приведенных примеров, это пространство двоичных -мерных векторов содержит лишь конечное число элементов. Так как каждый член последовательности может принимать только два значения, то всего различных последовательностей длины существует

Скалярное произведение в этом пространстве удобно задать формулой

где — сумма в обычном смысле. Отсюда норма двоичного вектора.

Последнее равенство записано на основании того, что

Таким образом, нормой двоичного вектора является количество содержащихся в нем единиц. Эту норму называют также весом вектора. Все свойства нормы при этом выполняются; в частности, норма равна нулю только для нулевого вектора (состоящего из одних нулей).

Ортонормированный базис в этом пространстве содержит векторов:

Других ортонормированных базисов здесь нет, так как все остальные векторы (кроме нулевого) имеют норму не менее 2.

Расстояние между двумя векторами по определению равно норме их разности:

где означают сложение и вычитание по модулю 2, а последнее равенство написано на основании того, что сложение и вычитание по модулю 2 совпадают. Значение равно 1 в том случае, когда если же то Таким образом, расстояние между двоичными векторами равно числу составляющих, в которых они различаются. Такое определение расстояния было введено Хэммингом и называется расстоянием Хэмминга. Об этом пространстве речь пойдет в гл. 5.

Следует упомянуть еще об одном часто используемом функциональном пространстве — пространстве сигналов с конечной мощностью, т. е. таких, для которых

При этом энергия сигнала может быть бесконечной.

Множество таких сигналов безусловно образует линейное пространство. Его обозначают Однако в нем не удается определить надлежащим образом скалярное произведение и норму. Если, как это часто делают, определить скалярное произведение формулой

и, следовательно, норму

то норма ненулевых сигналов, имеющих конечную энергию, окажется равной что противоречит условию (2.91в). Поэтому не все полученные выше результаты применимы к пространству В частности, в не существует счетного ортогонального базиса.

Множество реализаций случайного процесса нередко образует линейное пространство. При этом скалярные произведения, нормы, расстояния оказываются случайными величинами. Заметим, что ортогональный базис состоит из детерминированных функций. В частности, в формуле (2.98) при разложении случайного процесса по ортогональному базису коэффициенты случайные величины, а не случайные функции.

Случайные коэффициенты в (2.98), вообще говоря, коррелированы между собой. Для решения многих вопросов полезно иметь разложение процесса по такому ортогональному базису, в котором коэффициенты между собой не коррелированы. Разложение, удовлетворяющее этому условию, называют каноническим. Доказано, что для стационарных случайных процессов всегда существует хотя бы один базис (разный для различных процессов и определяемый корреляционной функцией процесса), при котором разложение оказывается каноническим.