§ 10. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И О СЛОЖЕНИИ ПАР
Справедливость выводов, сделанных в конце § 9, можно доказать непосредственно.
Рис. 34
Рассмотрим действующую на твердое тело пару сил F, F. Проведем в ллоскости действия этой пары через произвольные точки D и Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил F, F в точках А и В (рис. 34) и приложим силы F, F в этих точках (первоначально F и F могли быть приложены в любых других точках на их линиях действия). Разложим теперь силу F по направлениям АВ и ЕВ на силы 
— по направлениям В А и AD на силы Q и Р. Очевидно при этом, что 
Силы Q и Q, как уравновешенные, можно отбрисить. В результате пара сил F, F будет заменена парой Р, Р с другим плечом и другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точках D, Е на их линиях действия. При этом в силу произвольности в выборе точек D, Е и направлений прямых AD и BE пара Р, Р может оказаться расположенной в плоскости ее действия где угодно f? положение, при котором силы Р и Р параллельны F, пару можно привести, проделав указанное преобразование дважды).
Покажем в заключение, что пары 
имеют одинаковые моменты. Обозначим эти моменты соответственно через 
где согласно формуле 
Так как 
то 
но 
(см. подстрочное примечание на с. 32) и, следовательно, 
Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:
1) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;
2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.
Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):
3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.
Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Это следует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия или переноса в параллельную плоскость, пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.
Рис. 35
Теперь докажем теорему о сложении пар: система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Рассмотрим сначала две пары с моментами 
лежащие в плоскостях 
(рис. 35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок 
и изобразим пару с моментом 
силами 
а пару с моментом 
— силами 
(при этом, конечно, 
).
Сложив силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары 
действительно эквивалентны одной паре 
найдем момент М этой пары. Так как 
то 
или согласно формуле 
Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказательство сохранится и в случае, когда плоскости 
и II сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).
Если на тело действует система 
пар с моментами 
то последовательно применяя результат, полученный для двух пар, найдем, что данная система пар будет действительно эквивалентна одной паре с моментом
или
лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 36). Модуль момента каждой из пар равен 
Найти результирующую пару.
моментов слагаемых пар, приложив их в некоторой точке А, тогда момент результирующей пары изобразится вектором 
. Следовательно, результирующая пара расположена в плоскости ABCD, перпендикулярной вектору 
, а модуль ее момента равен 
