§ 125. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
В ряде случаев получить решение задачи с помощью одной из общих теорем не удается, но решение легко находится, если использовать одновременно, например, две общие теоремы. Несколько таких задач и рассматривается ниже.
Задача 145. Горизонтальная трубка АВ, масса которой
и радиус инерции
относительно вертикальной оси
известны, вращается вокруг этой оси с угловой скоростью
(рис. 315). В некоторый момент времени находящийся в трубке шарик массой
чуть смещенный от точки А, начинает двигаться без начальной скорости вдоль трубки. Пренебрегая сопротивлениями, найтн скорость и шарика относительно трубки как функцию его расстояния
от оси
Рис. 315
Решение. Рассмотрим систему трубка — шарик. Так как сопротивлениями (в том числе силами трения) здесь пренебрегают, то при движении системы работа действующих на нее сил тяжести и реакций связей равна нулю. Следовательно, из уравнения (50) получим
В момент
шарик находится в точке А и его абсолютная скорость равна нулю. В произвольный момент времени угловая скорость трубки равна и, а скорость шарика слагается из относительной, численно равной v, и ей перпендикулярной переносной, численно равной
Поэтому
Подстановка этих величин в равенство
дает
Для определения неизвестной величины
воспользуемся теоремой моментов относительно оси
Так как здесь
то
или
откуда
Подставляя это значение
в равенство (а), найдем окончательно
Интересно отметить, что с увеличением
скорость стремится к предельному значению
Задача 146. Однородный сплошной круговой цилиндр кассой
и радиусом
, находящийся в наивысшей точке цилиндрической поверхности радиусом R и чуть смещенный из этого положения, начинает катиться вниз без начальной скорости (рис. 316). Найти, при каком значении угла
цилиндр оторвется от поверхности; обе поверхности абсолютно шероховаты (имеют насечку).
Рис. 316
Рис. 317
Решение. Отрыв произойдет в точке, где реакция N поверхности обратится в нуль. Чтобы найти значение
воспользуемся теоремой о движении центра масс, составив уравнение (16) в проекции на главную нормаль
к траектории центра масс С. Получим, учтя, что центр С движется по окружности радиуса
Для определения
воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Так как
а значение Т для катящегося цилиндра было найдено в задаче 136 (см. § 121) и равно
то
Подставляя отсюда значение
в уравнение (а), найдем
Следовательно, отрыв произойдет в точке, определяемой равенством
Положение точки отрыва, как и величина N, от значений R и
не зависят.
Задача 147. К ползуну 1 массой
который может перемещаться по гладким горизонтальным направляющим, шарнирно прикреплен стержень 2 длиной l и массой
(рис. 317).
В начальный момент времени стержень отклоняют до горизонтального положения и отпускают без начальной скорости. Пренебрегая трением в оси шарнира, определить, какую скорость будет иметь ползун в момент прохождения стержня через вертикаль.
Решение. Рассматривая систему ползун — стержень, применим к пей теорему об изменении кинетической энергии на перемещении, при котором стержень приходит из положения
в положение
. Получим, учтя, что
Здесь
, где
и, согласно формулам (44) или (45),
. В последнем равенстве
— угловая скорость стержня,
— скорость его центра масс, причем
кроме того, как было найдено в задаче
В результате уравнение (а), если поделить обе его части на
примет вид
Для определения
воспользуемся теоремой об изменении количества движения систем. Так как в данном случае
, а в начальный момент система находилась в покое, получим
, т. е.
Подставив это значение
в равенство (б), найдем окончательно
Задача 148. По наклонной грани призмы 1 массой
стоящей на гладкой горизонтальной плоскости, начинает скользить (без трения) груз 2 массой
(рис. 318). Угол наклона грани равен а. Найти, с каким ускорением будет при этом двигаться призма.
Рис. 318
Решение. Рассмотрим систему груз — призма и применим к ней теорему о движении центра масс. В проекции на горизонтальную ось Ох будет
и, следовательно,
.
Обозначая координату призмы через
и определяя положение груза на призме координатой s, получим
а). Так как
, то отсюда
Значение s можно было бы опять определить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, но в данном случае проще составить дифференциальное уравнение относительного движения груза [уравнение (56) из § 91] в проекции на ось
. Так как подвижная система отсчета вместе с призмой перемещается поступательно, то
где
— ускорение призмы
Тогда
, и в проекции на ось
получим
Подставив это значение
в равенство (а), найдем искомое ускорение призмы