Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 89. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОЧКИВведем понятие еще об одной основной динамической характеристике движения Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ — 1 Дж). Найдем зависимость, которой связаны эти две величины. Рассмотрим материальную точку с массой Для получения искомой зависимости обратимся к выражающему основной закон динамики уравнению
Входящее сюда касательное ускорение точки представим в виде
В результате найдем, что
Умножим обе части этого равенства на
Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках
Уравнение (52) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении. Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил
Следовательно, при перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ на этом перемещении приложенных к точке активных сил. Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работе активных сил прибавится работа силы трения (см. § 88). Если же поверхность (кривая) движется, то абсолютное перемещение точки М может не быть перпендикулярно N и тогда работа реакции N не будет равна нулю (например, работа реакции платформы лифта). Решение задач. Теорема об изменении кинетической энергии [формула (52)] позволяет, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить работу действующих сил (первая задача динамики) или, зная работу действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их работу. Как видно из формул (44), (44), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от положения (координат) движущейся точки, как, например, силы упругости или тяготения (см. § 88). Таким образом, формулу (52) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, перемещение точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины Теорему в дифференциальной форме [формула (51)] можно, конечно, применять при любых действующих силах.
Рис. 235 Задача 98. Груз массой Решение. На груз при его движении действуют сила тяжести Р и сила сопротивления воздуха R. По теореме об изменении кинетической энергии, считая груз материальной точкой, имеем
Из этого равенства, так как согласно формуле
Задача 99. При условиях задачи 96 (см.[§ 84) определить, какой путь пройдет груз до остановки (см. рис, 223, где Решение. На груз, как и в задаче 96, действуют силы Р, N, F. Для определения тормозного пути
В рассматриваемом случае
По результатам задачи 96 время торможения растет пропорционально начальной скорости, а тормозной путь, как мы нашли, — пропорционально квадрату начальной скорости. Применительно к наземному транспорту это показывает, как возрастает опасность с увеличением скорости движения. Задача 100. Груз весом Р подвешен на нити длиной l Нить вместе с грузом отклоняют от вертикали на угол Решение. Учитывая условия задачи, воспользуемся опять теоремой (52):
На груз действуют сила тяжести Р, реакция нити
При отсутствии сопротивления получаем отсюда известную формулу Галилея
Рис. 236
Рис. 237 В рассматриваемой задаче
Задача 101. Пружина клапана имеет в недеформироваином состоянии длину Решение, Воспользуемся уравнением
По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тогда по формуле (48) будет
В данном случае
Кроме того,
Задача 102. Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 238), прогибает ее на величину Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения уравнением (52). В данном случае начальная скорость груза
Работу здесь совершают сила тяжести Р на перемещении
Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упругости, следовательно,
Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи должно быть
Интересно отметить, что при
Рис. 238
Рис. 239 Задача 103. Определить, Решение. Рассматривая тело как материальную точку с массой
Работу здесь совершает сила тяготения F. Тогда по формуле (50), учитывая, что в данном случае
Так как в наивысшей точке
Рассмотрим частные случай: а) пусть Н очень мало по сравнению с R. Тогда
Таким образом, при малых Н приходим к формуле Галилея; б) найдем, при какой начальной скорости брошенное тело уйдет в бесконечность, Деля числитель и знаменатель на А, получим
При
Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью Можно доказать (см. гл. XX), что при начальных скоростях, лежащих приблизительно в пределах
Рис. 240 Задача 104. Определить, пренебрегая трением, какую постоянную силу Q надо приложить к поршню 1 (площадь поршня S, начальная скорость Решение. На поршень действуют сила Q и сила давления газа Р. Так как у поршня
Направим ось Так как численно
Зависимость
Учтя эти зависимости, найдем из равенства (б)
Далее, так как
При иайдеиных значениях работ равенстве (а) дает окончательно
Если
Сила Q с увеличением
|
1 |
Оглавление
|