§ 13. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия

где О — любой центр, так как в конце § 12 показано, что при значение от выбора центра О не зависит.

Условия (23) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда RO), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (23) являются и достаточными, потому что при система сил может приводиться только к паре с моментом а так как то имеет место равновесие.

Пользуясь полученным результатом, докажем следующую теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Пусть система сил приводится к равнодействующей R, линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 41). Приложим в этой точке силу Тогда система сил будет находиться в равновесии и для нее должно выполняться условие т. е. согласно формуле (22) для данных сил (включая силу R) должно быть Но и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то

Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем из него, что

Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.

Рис. 41