§ 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
В § 52 было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью 
полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям 
радиусом-вектором 
(рис. 146), где 
— радиус-вектор полюса 
— вектор, определяющий положение точки М относительно осей 
, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда
В полученном равенстве величина 
есть скорость полюса 
; величина же 
равна скорости 
которую точка М получает при 
т. е. относительно осей 
или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что
При этом скорость 
которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А, будет (см. § 51):
где 
— угловая скорость фигуры.
Рис. 146
Рис. 147
Рис. 148
Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости 
находятся построением, соответствующего параллелограмма (рис. 147).
Задача 58. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 148), если скорость центра С колеса равна 
а угол 
Решение. Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что 
где 
и по модулю 
— радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка К. колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени 
. С другой стороны, так же как и для точки 
где 
Так как для точки К скорости 
направлены вдоль одной прямой, то при 
откуда 
. В результате находим, что 
Параллелограмм, построенный на векторах 
будет при этом ромбом. Угол между 
равен 
так как стороны, образующие этот угол и угол 
, взаимно перепендикулярны. В свою очередь угол 
как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол а. Тогда по свойствам ромба углы между 
и между 
тоже равны а. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перепендикулярны, получим
Расчет, как видим, оказывается достаточно громоздким. В дальнейшем мы познакомимся с методами, позволяющими решать аналогичные задачи гораздо проще (см. задачу 61 в § 57).
