§ 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ

Решаемые методами статики задачи могут быть одного из следующих двух типов: 1) задачи, в которых известны (полностью или частично) действующие на тело силы и требуется найти, в каком положении или при каких соотношениях между действующими силами тело будет находиться в равновесии (задачи 4, 5); 2) задачи, в которых известно, что тело заведомо находится в равновесии и требуется найти, чему равны при этом все или некоторые из действующих на тело сил (задачи 6, 7, 8 и др.). Реакции связей являются величинами, наперед неизвестными во всех задачах статики.

Приступая к решению любой задачи, следует прежде всего установить, равновесие какого тела (или каких тел) надо рассмотреть, чтобы найти искомые величины. Процесс решения сводится к следующим операциям.

1. Выбор тела (или тел), равновесие которого должно быть рассмотрено. Для решения задачи надо рассмотреть равновесие тела, к которому приложены заданные и искомые силы или силы, равные искомым (например, если надо найти давление на опору, то можно рассмотреть равновесие тела, к которому приложена численно равная этой силе реакция опоры и т. п.).

Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомые на другое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколько тел, может оказаться необходимым рассмотреть равновесие системы этих тел или последовательно равновесие каждого тела в отдельности.

2. Изображение действующих сил. Установив, равновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следует на чертеже изобразить все действующие на это тело (или тела) внешние силы, включая как заданные, так и искомые силы, в том числе реакции всех связей. При изображении реакций учесть все сказанное о них в § 3.

3. Составление условий равновесия. Условия равновесия составляют для сил, действующих на тело (или тела), равновесие которых рассматривается. Об особенностях составления условий равновесия для различных систем сил будет сказано в соответствующих местах курса.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и исследование полученных результатов. Важное значение в процессе решения имеет аккуратный чертеж (он помогает быстрее найти правильный путь решения и избежать ошибок при составлении условий равновесия) и последовательное проведение всех выкладок.

Все расчеты при решении задач рекомендуется, как правило, производить в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, дающие возможность проанализировать найденные результаты. Кроме того, решение в общем виде позволяет иногда обнаружить сделанные ошибки путем проверки размерностей (размерности каждого из слагаемых в обеих частях равенства должны быть одинаковыми).

Числа, если решение производится в общем виде, подставляются только в окончательные результаты.

В этом параграфе рассмотрим задачи на равновесие тела под действием сходящихся сил. Для их решения можно пользоваться геометрическим или аналитическим методом.

Геометрический метод. Им удобно пользоваться, когда общее число действующих на тело сил (и заданных, и искомых) равно трем. При равновесии треугольник, построенный из этих сил, должен быть замкнутым (построение следует начинать с заданной силы). Решая этот треугольник, найдем искомые величины.

Аналитический метод. Им можно пользоваться при любом числе приложенных сил. Для составления условий равновесия, которых в случае плоской системы сходящихся сил будет два [формулы (12)], а в случае пространственной системы три [формулы(11)], надо сначала выбрать координатные оси. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно какой-либо неизвестной силе.

Для составления условий равновесия полезно на первых порах предварительно вычислить проекции всех сил на выбранные оси, внося их в отдельную таблицу (см. задачу 4).

Ряд дополнительных указаний дается в ходе решения рассматриваемых ниже задач.

Задача 4. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 24, о). Определить значение горизонтальной силы F, которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом равна сила давления Q груза на плоскость.

Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила F на груз, сила Q — на плоскость. Для решения задачи вместо силы Q будем искать равную ей по модулю, но противоположно направленную реакцию плоскости N. Тогда заданная сила Р и искомые силы F и N будут действовать на груз, т. е. на одиои то же тело. Рассмотрим равновесие груза и изобразим действующие на этот груз силы Р и F и реакцию связи N. Для определения искомых сил можно воспользоваться или геометрическим, или аналитическим условиями равновесия. Рассмотрим оба способа решения.

Рис. 24

Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из сил Р, F к должен быть замкнутым. Построение треугольника начинаем с заданной силы. От произвольной точки а в выбранном масштабе откладываем силу Р (рис. 24, б). Через начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные направлениям сил F и Ж Точка пересечения этнх прямых дает третью вершину с замкнутого силового треугольника в котором стороны равны в выбранном масштабе искомым силам. Направление сил определяется правилом стрелок: так как здесь равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде не должны встречаться в одной точке.

Модули искомых сил можно из треугольника иайти и путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Замечая, что получим:

Аналитический способ. Так как система действующих сходящихся сил является плоской, нее надо составить два условия равновесия (12). Сначала проводим координатные оси; при этом для получения более простых уравнений ось направляем перпендикулярно неизвестной силе N. Далее вычисляем проекции сил на оси и у, внося их в таблицу

Теперь составляем уравнения Получим:

Решая эти уравнения, найдем:

Геометрическое решение в подобных простых задачах (когда действующи СИЛ три) оказывается более компактным, чем аналитическое. Как видно, при а при при любом

Искомая сила давления груза на плоскость численно равна N, но направлена В противоположную сторону

Задача 5. Стержень АВ прикреплен к неподвижной опоре шарниром А (рис. 25, а). К концу В стержня подвешен груз весом Р и прикреплена ннть. Нить перекинута через блок С и к ней подвешен груз весом Q. Оси блока С и шарнира А расположены на одной вертикали, причем Найти, при каком угле а система будет в равновесии и чему при этом равно усилие в стержне А В; весом стержня и размером блока пренебречь.

Решение. Рассмотрим равновесие стержня АВ, к которому приложены все данные и искомые силы. Изобразим для наглядности стержень отдельно (рис, 25, б) и покажем действующие на него силы: снлу численно равную весу Груза, натяжение Т нити и реакцию направленную вдоль стержня, так как стержень считается невесомым. Если трением в оси блока пренебречь, то натяжение нити, перекинутой через блок, при равновесии всюду одинаково, следовательно,

Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р, Т и замкнутый силовой треугольник (рис. 25, в), начиная с силы Р. Из подобия треугольников и ABC находим, что . Следовательно,

Из полученных результатов следует, что при равновесие возможно только, если Стержень при этом будет сжат с силой, равной Р, независимо от значений груза Q и угла а.

Случай, когда , должен быть рассмотрен отдельно. Легко видеть, что в этом случае равновесие возможно при любых значениях Р и Q При этом, если то стержень растягивается с силой, равной если же то стержень сжимается с силой, равной

Обращаем внимание на то, что сила тяжести Q непосредственно в условие равновесия (в силовой треугольник) не вошла, так как эта сила приложена к грузу, а не к стержню АВ, равновесие которого рассматривалось.

Задача 6. Кран, закрепленный подшипником А и подпятником В, иесет нагрузку Р (рис. 26) Определить реакции RA и RB опор, вызванные действием данной нагрузки, если вылет крана равен

Рис. 25

Рис. 26

Решение Рассмотрим равновесие крана, к которому приложены заданная и искомые силы Изображаем действующие на кран силу Р и реакцию подшипника RA, направленную перпендикулярно оси АВ Реакция подпятника может иметь любое направление в плоскости чертежа. Но кран находится в равновесии под действием трех сил, следовательно, их линии действия должны пересекаться в одной точке. Такой точкой является точка Е, где пересекаются линии действия сил Р и RA Таким образом, реакция будет направлена вдоль

Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р, RA и замкнутый треугольник начиная с заданной силы Р. Из подобия треугольников в А BE находим.

откуда

Из треугольника видно, что направления реакций RA и показаны чертеже правильно . Силы давления на подшипник А и подпятник В численно равны но направлены противоположно реакциям Значения этих давлений будут тем больше, чем больше отношение

Рассмотренная задача дает пример использования теоремы о трех силах.

Задача 7. К шарниру А коленчатого пресса приложена горизонтальная сила Р (рис. 27, а) Пренебрегая весом стержней и поршня, определить силу давления поршня на тело М при данных углах

Решение. Рассмотрим сначала равновесие шарнира к которому приложена единственная заданная сила Р На ось шарнира кроме силы Р действуют реакции стержней и направленные вдоль стержней Строим силовой треугольник (рис 27, б) Углы в нем равны Пользуясь теоремой синусов, получим

Теперь рассмотрим равновесие поршня. На поршень действуют тоже три силы: сила давления стержня АВ, реакция N стенки и реакция Q прессуемого тела. Так как сил три, то они при равновесии должны быть сходящимися.

Строя из этих сил силовой треугольник (рис. 27, в), находим из него

Подставляя вместо равную ей получаем окончательно

Сила давления поршня на тело М равна по модулю Q и направлена в противоположную сторону Из последней формулы видно, что при одной и той же силе Р сила Q возрастает с уменьшением углов

Если длины стержней ОА и АВ одинаковы, то а.

Рис. 27

Рис. 28

Задача 8. На цилиндр весом Р, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости, действует горизонтальная сила Q, прижимающая его к выступу В (рис. 28). Определить реакции в точках А и В, если — раднус цилиндра).

Решение Рассмотрим равновесие цилиндра, на который действуют заданные силы Р, Q и реакции связей и (реакция направлена по нормали к коверхности цилиндра, т. е. вдоль радиуса ВС). Все силы лежат в одной плоскости и сходятся в точке С Так как сил четыре, то удобнее воспользоваться аналитическими условиями равновесия . Проведя координатные оси так, как показано на рис 28, получим

При Тогда из первого уравнения находим

Подставляя это значение во второе уравнение, получим

При реакция обращается в нуль, а если то цилиндр оторвется от плоскости и под действием силы Q начнет поворачиваться вокруг Выступа В.

Задача 9. На кронштейне, состоящем из стержней АВ и ВС, скрепленных друг с другом и со стекой шарнирами, укреплен в точке В блок (рис 29, а). Через блок перекинута нить, один конец которой привязан к стене, а на другом подвешен груз весом Q. Определить реакции стержней, пренебрегая их весом и размерами блока. Углы заданы.

Решение. Рассмотрим равновесие блока с прилегающим к нему отрезком DE нити Для наглядности изобразим блок отдельно (рис, 29, б). На блок с отрезком нити действуют четыре внешние снльг натяжение правой ветви нити, равное Q, натяжение левой ветви нити Т, по числовой величине тоже равное и реакции стержней направленные вдоль стержней. Силы, пренебрегая размерами блока, считаем сходящимися. Так как число их больше трех, воспользуемся условиями равновесия Проведя координатные оси так, как показано на рис. 29, б, получим:

Из второго уравнения, учитывая, что находим

Подставляя это значение в первое уравнение, после преобразования получаем

Рис. 29

Рис. 30

Из выражения для следует, что при любых острых углах а и Это означает, что реакция направлена всегда так, как показано на чертеже. Снла же давления блока на стержень направлена в противоположную сторону (стержень ВС сжат). Для получаем другой результат. Будем считать углы а и (3 всегда острыми. Так как

то эта разность положительна, если или когда Отсюда следует, что при значение т. е. реакция имеет направление, изображенное на чертеже; если же то т. е. реакция имеет противоположное направление (от А к В). При этом стержень А В в первом случае растянут, а во втором сжат. Когда получаем

Обращаем внимание на следующие выводы 1) если в систему входят блоки с перекинутыми через них нитями, то при составлении условий равновесия блок целесообразно рассматривать вместе с прилегающим к нему отрезком нити как одно тело. При этом, если трением нити о блок или трением в оси блока пренебречь, то натяжения на обоих концах нити будут по модулю равны и направлены от блока (иначе нить скользила бы в сторону большего натяжения или блок вращался бы);

2) если при изображении реакций связей какая-нибудь из них будет направлена не в ту сторону, куда она фактически действует, то при геометрическом решении это непосредственно обнаружится из силового многоугольника (правило стрелок), а при аналитическом решении числовая величина соответствующей реакции получится отрицательной.

Однако во всех случаях, когда это можно наперед сделать, следует реакции связей сразу направлять верно.

Например, в задаче 6 направление реакции подшипника А устанавливается следующими рассуждениями: если убрать подшипник, то кран под действием силы Р начнет падать вправо; следовательно, сила чтобы удержать кран в равновесии, должна быть направлена влево.

Задача 10. Стоящий на земле вертикальный столб ОА удерживается растяжками АВ и AD, образующими со столбом равные углы а; угол между плоскостями АОВ и равен (рис. 30). К столбу подвешены два горизонтальных провода; один, параллельный оси натянут с силой а другой, параллельный оси — с силой Найти силу вертикального давления на столб и усилия в тросах, пренебрегая их весами.

Решение. Рассмотрим равновесие узла А, к которому прикреплены провода и тросы. На него действуют силы натяжения проводов реакции растяжек и реакция столба Система сил оказалась пространственной. В этом случае будем пользоваться только аналитическим способом решения. Для составления условий равновесия (11) проводим координатные оси (см. рис. 30) и вычисляем предварительно проекции всех сил на эти оси, внося их в таблицу:

Проекции силы на оси и у определяем так, как это было указано в начале § 5 (см. рис, 19).

Теперь, составляя уравнения получим:

Решая эти уравнения, найдем:

Из полученных результатов видно, что при получается и реакция должна иметь направление, противоположное показанному на рисунке, что невозможно, так как трос не может работать на сжатие. Следовательно, растяжку AD надо располагать так, чтобы угол удовлетворял неравенству