§ 91. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Второй закон динамики и полученные на него выше уравнения и теоремы верны только для так называемого абсолютного движения точки, т. е. движения по отношению к инерциальной («неподвижной») системе отсчета.

Обратимся теперь к изучению относительного движения точки, т. е. движения по отношению к неинерциальным, произвольно движущимся по отношению к инерциальной системам отсчета.

Рассмотрим материальную точку М, движущуюся под действием приложенных к ней сил являющихся результатом взаимодействия точки с другими материальными телами. Будем научать движение этой точки по отношении к осям: (рис. 246), которые в свою очередь каким-то известным нам образом движутся относительно инерциальной системы отсчета (неподвижных осей)

Найдем зависимость мёжду относительным ускорением точки и действующими на нее силами. Для абсолютного движения основной закон динамики имеет вид

Но из кинематики известно (см. § 66), что где — относительное, переносное и кориолисово ускорения точки. Подставляя это значение в равенство (55) и считая в дальнейшем так как эта величина представляет собой ускорение изучаемого нами относительного движения, получим

Введем обозначения:

Величины имеют размерность силы. Назовем их соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Тогда предыдущее уравнение примет вид

Уравнение (56) выражает основной закон динамики для относительного движения точки. Сравнивая равенства (55) и (56), приходим к выводу: все уравнения и теоремы механики для относительного движения точки составляются так же, как уравнения абсолютного движения, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами прибавить переносную и кориолисову силы инерции. Прибавление сил учитывает влияние на относительное движение точки перемещения подвижных осей.

Рис. 246

Рис. 247

Чтобы уяснить характер этого влияния, рассмотрим, например, - точку В, неподвижную в инерциальной системе отсчета (рис. 247), и допустим, что подвижные оси Охуz перемещаются относительно осей поступательно с ускорением . Тогда по отношению к осям точка В будет иметь ускорение и причина появления этого ускорения будет кинематическая — движение подвижной системы отсчета.

Таким образом, если в инерциальной системе отсчета материальная точка, как это видно из уравнения (55), может получить ускорение только за счет действия на нее сил , то в неинерциальной системе отсчета точка получает ускорение еще и в результате ускоренного движения самой системы отсчета.

В общем случае, если из равенства (55) определить и учесть зависимость , то, полагая, как это сделано выше, получим

Это другое выражение закона относительного движения точки, которым можно непосредственно пользоваться при решении задач. В его правой части первое слагаемое выражает ускорение, которое точке сообщают действующие силы F, а два других слагаемых являются ускорениями, которые точка получает вследствие движения подвижной системы отсчета.

Из уравнения (56) видно также, что данные силы F сообщают точке ускорение, равное в любой системе отсчета, но в инерциальной системе отсчета это будет все ускорение точки, а в неинерциальной — только его часть.

Математически уравнения (56) и (56) эквиваленты. Но для приложений уравнение (56) более удобно, так как по виду совпадает с уравнением (55), что позволяет использовать при изучении относительного движения все результаты, полученные ранее для движения в инерциальной системе отсчета (например, общие теоремы).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если подвижные оси движутся поступательно, то так как в этом случае ( — угловая скорость вращения подвижных осей ), и закон относительного движения принимает вид

2. Если подвижные оси перемещаются поступательно, равномерно и прямолинейно, то и закон относительного движения будет иметь такой же вид, как и закон движения по отношению к неподвижным осям. Следовательно, такая система отсчета также будет инерциальной.

Из полученного результата вытекает, что никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движения. В этом состоит открытый еще Галилеем принцип относительности классической механики.

3. Если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее а следовательно, и так как кориолисово ускорение Тогда равенство (56) принимает вид

Уравнение (57) представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что уравнения относительного равновесия составляются так же, как уравнения равновесия в неподвижных осях, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами добавить переносную силу инерции.

4. При составлении уравнений относительного движения в случаях, когда надо иметь в виду, что

Следовательно, сила перпендикулярна , а значит, и касательной к относительной траектории точки. Поэтому:

а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную к относительной траектории точки всегда равна и первое из уравнений (11) в относительном движении будет иметь вид

б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительном перемещении равна нулю [см. § 87, формула (44)], и теорема об изменении кинетической энергии точки в относительном движении будет иметь вид — значения относительных скоростей, А — работа на относительном перемещении)

Последние слагаемые в правых частях равенств (58) и (59) учитывают влияние движения подвижных осей на изменение величины

Во все остальные уравнения относительного движения будут в общем случае входить и переносная, и кориолисова силы инерции.

Задача 110. Пренебрегая массой всех вращающихся частей центробежного регулятора (рис. 248) по сравнению с массой шаров В и D, найти угол а, определяющий положение относительного равновесия стержня АВ, если регулятор вращается с постоянной угловой скоростью со, а длина

Рис. 248

Рис. 249

Решение Для определения положения относительного равновесия (по отношению к вращающимся вместе с регулятором осям) прибавляем, согласно равенству (57), к действующим на шар В силе тяжести Р и реакции N переносную силу инерции Так как , то Тогда . Направлена сила противоположно ускорению , т. е. от осн вращения (вдоль линии СВ); эту силу называют еще центробежной силой инерции. Составляя уравнение равновесия в проекции на ось перпендикулярную АВ, найдем, что

Отсюда, заменяя силу пер ее значением и сокращая на (решение не рассматриваем), получим . Тогда

Так как равновесие при возможно только, когда

Задача 111. Полуокружность BCD радиуса R (рис. 249) вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. По ней из точки В, чуть смещенной от оси вращения, начинает скользить без трения кольцо М. Найти относительную скорость кольца в точке С, если его начальная скорость

Решение. Для определения скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Чтобы составить уравнение (59), выражающее эту теорему, вычислим работу сил . где (работа реакции N равна нулю). Считая приближенно находим

Кроме того, Подставляя эти значения в уравнение (59) и учитывая, что получим

Отсюда находим

Задачу можно также решить, используя уравнение (58).

Пример интегрирования уравнений относительного движения дан в § 93.