§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчета Охухгг (рис. 180). Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси 
которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Ox будет известно, если будем знать положение полюса А, т. е. его координаты 
и положение тела по отношению к осям 
определяемое, как и в случае, рассмотренном в § 60, углами Эйлера 
(см. рис. 172; на рис. 180 углы Эйлера не показаны, чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета 
в любой момент времени, имеют вид
Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно видеть, что первые три из уравнений (79) определяют то движение, которое тело совершало бы при постоянных углах 
, т. е. при поступательном движении тела вместе с полюсом А.
Рис. 180
Рис. 181
Последние же три уравнения определяют движение, которое происходило бы при постоянных значениях координат 
т. е. когда точка А неподвижна. Но движение тела вокруг неподвижной точки, как установлено в § 60, слагается из элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.
Отсюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью 
и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью 
вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 181). Такой будет, например, картина движения любого непоступательного перемещающегося в воздухе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д. Наконец, аналогичной может быть картина движения и несвободного твердого тела при наличии соответствующих связей (см., например, в § 72 рис .207; в том же параграфе показано, как можно еще иначе представить геометрическую картину движения свободного твердого тела).
Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость 
и ускорение 
полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость 
и угловое ускорение 8 вращения вокруг полюса. Значения этих величин в любой момент времени можно найти по уравнениям (79). Заметим, что если за полюс принять другую точку тела, например точку В (см. рис. 180), то значения 
окажутся отличными от 
(предполагается, что тело движется не поступательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В (на рис. 180 не показаны), направить так же, как и в точке А, что можно сделать, то значения углов 
а следовательно, и последние из уравнений (79) не изменятся. Поэтому и здесь, как 
случае плоского движения, вращательная часть движения тела, в частности значения 
, от выбора полюса не зависят.
Движение свободного твердого тела может быть в частном случае плоскопараллельным; при этом векторы 
будут все время перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело.
Скорости и ускорения точек тела. Скорость 
любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается, как и в случае плоскопараллельного движения (см. § 54 и рис. 147), из скорости 
полюса А и скорости 
которую точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А. При этом, так как движение тела вокруг полюса А происходит как движение вокруг неподвижной точки, то значение 
определяется формулой (76), где
Таким образом,
Справедливость этого результата доказывается так же, как в § 54.
Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем (см. § 58)
где величина 
т. е. ускорение, которое точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А, определяетсяравенством (78), в котором только надо считать 
