§ 85. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)
В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектора количества движения 
рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.
Эти моменты определяются так же, как и моменты силы (см. § 8, 14 и 28).
Таким образом, моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина то 
определяемая равенством
где 
— радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.
При этом вектор 
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через 
и центр 
(рис. 224; для сравнения на нем показан и вектор 
).
Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси 
проходящей через центр О, будет равен проекции вектора 
на эту ось:
где 
— угол между вектором 
и осью Oz.
Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временем вектор 
. Чтобы доказать ее, продифференцируем по времени выражение (35). Получим
Но 
как векторное произведение двух параллельных векторов, 
, где при действии нескольких сил 
. Следовательно,
В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Сравнивая уравнения (37) и (32), видим, что моменты векторов 
и F связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы 
Если спроектировать обе части равенства (37) на какую-нибудь ось 
проходящую через центр О, то, учтя соотношение (36), получим
Это равенство выражает теорему моментов относительно оси.
Из уравнения (37) следует, что если 
то 
, т. е. если момент действующей силы относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная. Такой результат имеет место в практически важном случае движения под действием центральной силы (см. § 86).
Рис. 224
Рис. 225
Задача 97. Шарик М привязан к нити MBA, часть ВА которой продета сквозь вертикальную трубку (рис. 225). В момент, когда шарик находится на расстоянии 
от оси 
трубки, ему сообщают начальную скорость 
перепендикулярную плоскости MBA. Одновременно иить начинают медленно втягивать в трубку. Найти, какую скорость 
будет иметь шарик, когда его расстояние от оси 
станет равно 
Решение. На шарик действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Моменты этих сил относительно оси 
равны нулю, так как сила Р параллельна оси 
, а сила Т эту ось пересекает. Тогда по уравнению (38)
откуда 
. Так как масса m постоянна, то отсюда следует, что при движении шарика 
Следовательно,
По мере приближения шарика к оси его скорость растет.
