9.4. Тепловой шум

Случайный характер теплового движения свободных электронов в сопротивлении приводит к появлению на его зажимах флуктуирующего напряжения. Эти флуктуации называются тепловым шумом. Так как полное шумовое напряжение складывается из очень большого числа импульсов, обусловленных движением отдельных электронов, то, в силу центральной предельной теоремы, естественно ожидать, что общее шумовое напряжение является гауссовским процессом. Можно, конечно, показать, что это действительно так. Также можно показать, что длительность отдельных импульсов напряжения чрезвычайно мала и поэтому спектральную плотность шумового напряжения можно считать практически постоянной, т. е., как и в случае дробового шума, приближенно

При исследовании теплового шума в электрических цепях часто оказывается удобным представить генерирующее шум сопротивление с помощью эквивалентной схемы Тевенена, состоящей из последовательно соединенных генератора шумового напряжения и нешумящего сопротивления, или с помощью эквивалентной схемы, состоящей из параллельно соединенных генератора шумового тока и нешумящей проводимости. Эти эквивалентные схемы изображены на фиг. 9.5.

Значение спектральной плотности шумового напряжения, соответствующее нулевой частоте, можно найти, изучая состояние теплового равновесия системы, составленной из параллельно

соединенных генерирующего шум сопротивления и индуктивности без потерь. Такая система и эквивалентная ей схема показаны на фиг. 9.6.

Фиг. 9.5. Сопротивление, являющееся источником шума, и эквивалентная схема.

Фиг. 9.6. Схема, состоящая из сопротивления и индуктивности.

Согласно теореме равнораспределения статистической механики, среднее значение свободной энергии в токе, обтекающем замкнутый контур, должно быть равно , где — постоянная Больцмана, а Т - температура системы в градусах Кельвина. Следовательно,

Среднеквадратичное значение тока можно вычислить по его спектральной плотности:

Определяя как функцию передачи системы, связывающую ток в контуре и шумовое напряжение, имеем

и, следовательно, согласно (9.36) и (9.45),

Таким образом, среднеквадратичное значение тока равно

Подставляя этот результат в (9.46) и решая получающееся уравнение относительно находим:

Следовательно, спектральная плотность эквивалентного генератора шумового тока, изображенного на фиг. 9.5, равна

Естественно встает вопрос о частотах, при которых спектральную плотность теплового шума нельзя уже считать постоянной. Однако несомненно, что частота эта лежит далеко за пределами того диапазона частот, в котором физически реальное сопротивление можно трактовать как элемент с сосредоточенными постоянными.

Тепловой шум в линейных цепях.

Найдем теперь спектральную плотность шумового напряжения, развиваемого на паре зажимов линейной электрической цепи с потерями. Предположим сначала, что потери в рассматриваемой цепи обусловлены наличием в ней N сопротивлений. Пусть величина и температура сопротивления равны соответственно Выше мы говорили, что шумящее сопротивление можно заменить нешумящим сопротивлением и соединенным с ним последовательно источником шумового напряжения. Рассматриваемую цепь можно, следовательно, трактовать как -полюсник, на входы которого включены источники шумовых напряжений N сопротивлений. За исключением этих N сопротивлений, в цепи отсутствуют источники потерь; схематическое изображение такой цепи дано на фиг. 9.7.

Шумовые напряжения, генерируемые различными сопротивлениями, статистически независимы; поэтому спектральная плотность на выходе, согласно (9.44), равна

где переходная проводимость короткого замыкания связывает выходные зажимы и зажимы источника шумового напряжения, — спектральная плотность источника шумового

напряжения. Согласно равенству (9.47),

Следовательно, спектральная плотность шумового напряжения на выходе цепи может быть записана в виде

Этот результат иногда называют теоремой Вильямса.

Фиг. 9.7. Схема с потерями, содержащая N сопротивлений.

Если температура всех сопротивлений в цепи одинакова и равна Т, то выражение (9.49) упрощается и принимает вид

Если, кроме того, цепь с потерями удовлетворяет условию взаимности, по крайней мере в том смысле, что для всех

то спектральная плотность шумового напряжения на выходе оказывается равной

где — действительная часть импеданса цепи со стороны выходных зажимов. Этот результат обычно называется обобщенной

теоремой Найквиста] при соответствующем определении понятия «сопротивление» он может быть распространен на линейные диссипативные системы в самом общем смысле этого слова, например на броуновское движение, на флуктуации давления газа и т. п.

Для доказательства обобщенной теоремы Найквиста предположим, что мы можем замкнуть накоротко все идеализированные источники шумового напряжения и приложить синусоидальное напряжение к выходным зажимам цепи. Комплексная амплитуда тока протекающего через сопротивление связана с комплексной амплитудой приложенного напряжения равенством

В этих условиях средняя мощность рассеиваемая на сопротивлении равна

Полная средняя мощность, рассеиваемая во всей цепи с потерями, равна сумме средних мощностей, рассеиваемых на N сопротивлениях:

Эту полную среднюю мощность можно выразить также через величины, относящиеся к выходным зажимам:

где обозначает действительную часть, — действительная часть выходного импеданса цепи с потерями. Сравнивая два последних выражения, находим, что

Если

Подставляя последнее равенство в (9.50), получаем обобщенную теорему Найквиста (9.51).