АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

— общее название разделов топологии, в которых применяются алгебраические методы. А. т. разделяют на теорию гомологий, гомотопическую топологию и дифф. топологию. Пусть X — топологическое пространство. Роль «геометрических фигур» в X играют цепи, определяемые следующим образом. Нульмерная цепь состоит из конечного числа точек снабженных целочисленными коэфф. записывается в виде формальной линейной комбинации . Непрерывное отображение отрезка [0, 1] в одномерным симплексом пространства X; конечные формальные суммы одномерными цепями (аналог системы ориентированных дуг). Аналогично из непрерывных отображений треугольника в X строятся двумерные цепи (аналог системы ориентированных поверхностей, разбитых на «кривые треугольники»), из непрерывных отображений тетраэдра в X — трехмерные цепи и т. д.

Для цепей естественно определяется операция сложения. Для двумерного симплекса где треугольник-прообраз, отображение можно рассмотреть только на границе этим определяется одномерная цепь из трех симплексов называемая границей Для любой двумерной цепи граничный оператор определяется требованием линейности: Аналогично оператор определяется для цепей любой размерности; он переводит -мерную цепь в -мерную, а -мерную, по определению, в нуль. Наглядный смысл оператора — переход от «ориентированной поверхности» к «граничной кривой» ориентация которой согласована с ориентацией так, как это делается в теории поверхностных интегралов. Точно так же есть алгебр, аналог «граничной поверхности» тела взятой с надлежащей ориентацией (рис. ). Т. к. граиица поверхности есть замкнутая кривая, а граница тела — замкнутая поверхность, естественно ожидать, что «граница границы» равна нулю, т. е. цепь «без слагаемых»). Это соотношение может быть формально доказано. Роль граничного оператора в анализе видна из теоремы Стокса, которую можно записать в виде

где — дифф. форма получается из известным способом («дифференциал» формы ). Если цепь с циклом. Если z — цикл к в X существует такая цепь с, что то циклом, гомологичным нулю (или просто

границей). Все цепи пространства X размерности образуют абелеву группу , циклы — подгруппу ZT (X) с границы — подгруппу . Циклы гомологичны , если их разность есть граница; это — отношение эквивалентности между циклами, и классы эквивалентности суть классы смежности по их наз. классами -мерных гомологий пространства X. Роль классов гомологий видна в случае, когда в т. е. (Р, Q, R) — безвихревое векторное поле; в этом случае если циклы гомологичны в области X, где задано поле. Классы гомологий образуют группу называемую -мерной группой гомологий пространства Если теперь — непрерывное отображение, то для каждого симплекса пространства есть симплекс пространства У, и этим задается гомоморфизм абелевых групп Можно доказать, что границы есть граница ); отсюда и каждый класс гомологий X переходит в некоторый класс Y, т. е. определен гомоморфизм При этом для тождественного отображения имеем гомоморфизм) и для отображений имеем Рассмотрим категорию К (см. Множеств теория) всех топологических пространств и их непрерывных отображений, категорию L всех абелевых групп и их гомоморфизмов. Соответствия определяют функтор, отображающий К в L. Это даст возможность сводить топологические свойства пространств и отображений к более грубым, но вместе с тем и более доступным свойствам групп и гомоморфизмов. Напр., пусть надо доказать, что не существует непрерывного отображения шара D на его же граничную сферу S, при которой точки S переходят в себя. Если такое отображение, то рассмотрим еще отображающее все точки S в себя: тогда Для всех поэтому должен быть эпиморфизмом Вычисление групп гомологий показывает, однако, что , и отображение не может существовать. Операция дифференцирования форм d в и обобщенный процесс «интегрирования» форм также включаются в А. т. (теория когомологий).

Гомотопией непрерывных отображений семейство отображений непрерывно зависящее от параметра t и такое, что заданные отображения. Если связаны гомотопией (гомотопны), то можно доказать, что соответствующие гомоморфизмы абелевых групп совпадают. Доказательство состоит в том, что для любого цикла пространства X образы цепь в Y («кривой цилиндр»), граница которого есть разность «оснований», т. е. в Y. Отсюда видно, каким образом задачи теории гомотопий могут быть в ряде случаев сведены к теории гомологий: если в найдется такой класс гомологий , что то не гомотопно Если же надо доказать, что два отображения гомотопны, то в простейших случаях прибегают к геом. конструкциям гомотопий, а в более сложных — существование гомотопий устанавливается с помощью алгебр. техники. В ряде случаев удается полностью перечислить «гомотопические классы» отображений X в Y, т. е. классы эквивалентности по отношению к гомотопии. Напр., существует счетное множество классов отображений сфера в трехмерном пространстве). Пусть трехмерная сфера, т. е. множество в четырехмерном евклидовом пространстве с индуцированной из топологией. Тогда существует «тривиальное» отображение при котором все точки переходят в одну точку Можно доказать, что существует отображение не гомотопное тривиальному. Дифференциальная топология рассматривает категорию дифференцируемых многообразий и их дифференцируемых отображений. Это — наиболее важный класс пространств и отображений, непосредственно связанных с анализом и геометрией; первоначальная постановка проблем топологии у франц. математика А. Пуанкаре (1854—1912) относилась к этому классу. В последние годы вопросы дифф. топологии стояли в центре внимания топологов, -мерное дифференцируемое многообразие есть система, состоящая из топологического пространства X и мн-ва гомеоморфных отображений , где — открытые мн-ва евклидова пространства эти отображения должны удовлетворять условиям: 1) для каждой точки существует такое что суть дифференцируемые отображения везде, где они определены Дифференцируемость отображения где открытое множество, означает, что в его координатной записи ф-ции дифференцируемы несколько раз, чаще всего — бесконечно дифференцируемы. Отображения картами на X. С помощью карты каждая точка снабжается локальными координатами

— координатами ее прообраза в . Отображение -мерного дифференцируемого многообразия X в -мерное дифференцируемое многообразие дифференцируемым, если оно изображается в локальных координатах дифференцируемыми ф-циями; это значит, что для любой карты на X и любой карты на Y отображение должно быть дифференцируемо везде, где оно определено (см. схему):

Если дифференцируемые отображения, , то дифференцируемые многообразия X и диффеоморфными; по этому отношению дифференцируемые многообразия распадаются на классы. Приведем характерный результат дифференциальной топологии. Пусть — семимерная сфера (задается в уравнением Тогда мн-во топологических пространств, гомеоморфных содержит ровно 28 классов диффеоморфиости дифференцируемых многообразий.

Лит.: Фукс Д., Фоменко А., Гутенмахер В. Гомотопическая топология. М., 1967 [библиогр. с. 156]; Хилтон П. Дж., Уайли С. Теория гомологий. Пер. с англ. М., 1966 [библиогр. с. 442—443]; Милнор Дж. Теорема об -кобордизме. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 110—112].

И. А. Шведов.