АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ
— общее название разделов топологии, в которых применяются алгебраические методы. А. т. разделяют на теорию гомологий, гомотопическую топологию и дифф. топологию. Пусть X — топологическое пространство. Роль «геометрических фигур» в X играют цепи, определяемые следующим образом. Нульмерная цепь

состоит из конечного числа точек снабженных целочисленными коэфф.

записывается в виде формальной линейной комбинации

. Непрерывное отображение

отрезка [0, 1] в

одномерным симплексом пространства X; конечные формальные суммы

одномерными цепями (аналог системы ориентированных дуг). Аналогично из непрерывных отображений треугольника в X строятся двумерные цепи (аналог системы ориентированных поверхностей, разбитых на «кривые треугольники»), из непрерывных отображений тетраэдра в X — трехмерные цепи и т. д.
Для цепей естественно определяется операция сложения. Для двумерного симплекса
где
треугольник-прообраз, отображение
можно рассмотреть только на границе
этим определяется одномерная цепь из трех симплексов
называемая границей
Для любой двумерной цепи
граничный оператор
определяется требованием линейности:
Аналогично оператор
определяется для цепей любой размерности; он переводит
-мерную цепь в
-мерную, а
-мерную, по определению, в нуль. Наглядный смысл оператора
— переход от «ориентированной поверхности»
к «граничной кривой»
ориентация которой согласована с ориентацией
так, как это делается в теории поверхностных интегралов. Точно так же
есть алгебр, аналог «граничной поверхности» тела
взятой с надлежащей ориентацией (рис. ). Т. к. граиица поверхности есть замкнутая кривая, а граница тела — замкнутая поверхность, естественно ожидать, что «граница границы» равна нулю, т. е.
цепь «без слагаемых»). Это соотношение может быть формально доказано. Роль граничного оператора в анализе видна из теоремы Стокса, которую можно записать в виде
где
— дифф. форма
получается из
известным способом («дифференциал» формы
). Если
цепь с
циклом. Если z — цикл к в X существует такая цепь с, что
то
циклом, гомологичным нулю (или просто
границей). Все цепи пространства X размерности
образуют абелеву группу
, циклы — подгруппу ZT (X) с
границы — подгруппу
. Циклы
гомологичны
, если их разность есть граница; это — отношение эквивалентности между циклами, и классы эквивалентности суть классы смежности
по
их наз. классами
-мерных гомологий пространства X. Роль классов гомологий видна в случае, когда в
т. е. (Р, Q, R) — безвихревое векторное поле; в этом случае
если циклы
гомологичны в области X, где задано поле. Классы гомологий образуют группу
называемую
-мерной группой гомологий пространства
Если теперь
— непрерывное отображение, то для каждого симплекса
пространства
есть симплекс пространства У, и этим задается гомоморфизм абелевых групп
Можно доказать, что
границы есть граница
); отсюда
и каждый класс гомологий X переходит в некоторый класс Y, т. е. определен гомоморфизм
При этом для тождественного отображения
имеем
гомоморфизм) и для отображений
имеем
Рассмотрим категорию К (см. Множеств теория) всех топологических пространств и их непрерывных отображений, категорию L всех абелевых групп и их гомоморфизмов. Соответствия
определяют функтор, отображающий К в L. Это даст возможность сводить топологические свойства пространств и отображений к более грубым, но вместе с тем и более доступным свойствам групп и гомоморфизмов. Напр., пусть надо доказать, что не существует непрерывного отображения шара D на его же граничную сферу S, при которой точки S переходят в себя. Если
такое отображение, то рассмотрим еще
отображающее все точки S в себя: тогда
Для всех
поэтому
должен быть эпиморфизмом
Вычисление групп гомологий показывает, однако, что
, и отображение
не может существовать. Операция дифференцирования форм d в
и обобщенный процесс «интегрирования» форм также включаются в А. т. (теория когомологий).
Гомотопией непрерывных отображений
семейство отображений
непрерывно зависящее от параметра t и такое, что
заданные отображения. Если
связаны гомотопией (гомотопны), то можно доказать, что соответствующие гомоморфизмы абелевых групп
совпадают. Доказательство состоит в том, что для любого цикла
пространства X образы
цепь в Y («кривой цилиндр»), граница которого есть разность «оснований», т. е.
в Y. Отсюда видно, каким образом задачи теории гомотопий могут быть в ряде случаев сведены к теории гомологий: если в
найдется такой класс гомологий
, что
то
не гомотопно
Если же надо доказать, что два отображения гомотопны, то в простейших случаях прибегают к геом. конструкциям гомотопий, а в более сложных — существование гомотопий устанавливается с помощью алгебр. техники. В ряде случаев удается полностью перечислить «гомотопические классы» отображений X в Y, т. е. классы эквивалентности по отношению к гомотопии. Напр., существует счетное множество классов отображений
сфера в трехмерном пространстве). Пусть
трехмерная сфера, т. е. множество
в четырехмерном евклидовом пространстве
с индуцированной из
топологией. Тогда существует «тривиальное» отображение
при котором все точки
переходят в одну точку
Можно доказать, что существует отображение
не гомотопное тривиальному. Дифференциальная топология рассматривает категорию дифференцируемых многообразий и их дифференцируемых отображений. Это — наиболее важный класс пространств и отображений, непосредственно связанных с анализом и геометрией; первоначальная постановка проблем топологии у франц. математика А. Пуанкаре (1854—1912) относилась к этому классу. В последние годы вопросы дифф. топологии стояли в центре внимания топологов,
-мерное дифференцируемое многообразие есть система, состоящая из топологического пространства X и мн-ва гомеоморфных отображений
, где — открытые мн-ва евклидова пространства
эти отображения должны удовлетворять условиям: 1) для каждой точки
существует такое
что
суть дифференцируемые отображения везде, где они определены
Дифференцируемость отображения
где
открытое множество, означает, что в его координатной записи
ф-ции
дифференцируемы несколько раз, чаще всего — бесконечно дифференцируемы. Отображения
картами на X. С помощью карты каждая точка
снабжается локальными координатами
— координатами ее прообраза
в
. Отображение
-мерного дифференцируемого многообразия X в
-мерное дифференцируемое многообразие
дифференцируемым, если оно изображается в локальных координатах дифференцируемыми ф-циями; это значит, что для любой карты
на X и любой карты
на Y отображение
должно быть дифференцируемо везде, где оно определено (см. схему):
Если
дифференцируемые отображения,
, то дифференцируемые многообразия X и
диффеоморфными; по этому отношению дифференцируемые многообразия распадаются на классы. Приведем характерный результат дифференциальной топологии. Пусть
— семимерная сфера (задается в
уравнением
Тогда мн-во топологических пространств, гомеоморфных
содержит ровно 28 классов диффеоморфиости дифференцируемых многообразий.
Лит.: Фукс Д., Фоменко А., Гутенмахер В. Гомотопическая топология. М., 1967 [библиогр. с. 156]; Хилтон П. Дж., Уайли С. Теория гомологий. Пер. с англ. М., 1966 [библиогр. с. 442—443]; Милнор Дж. Теорема об
-кобордизме. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 110—112].
И. А. Шведов.