ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

— операции, с помощью которых из выражений того или иного языка образуют новые выражения этого языка. К Л. о. относятся логические связки, кванторы, оператор дескрипции, оператор абстракции и некоторые др. операторы. Логические связки — это Л. о. над высказываниями, рассматриваемыми как одно целое, безотносительно к их субъектно-предикатной структуре. В формализованных языках логические связки — это формализация употребляемых в обычных языках союзов и союзных слов «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда», частицы «не» и т. п. Различные подходы к формализации смысла этих союзных слов явились одной из причин развития наряду с классической логикой ряда логик неклассических. Логические связки могут быть одноместные (сингулярные), двуместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д. в зависимости от числа высказываний, которые «связываются» данной связкой. В формальных исчислениях эти связки задаются либо с помощью аксиом — в аксиоматических исчислениях (см. Исчисление высказываний), либо с помощью правил вывода в натуральных исчислениях (см. Генцена формальные системы). В алгебре логики их рассматривают как алгебр, операции на множестве из двух значений: 0 и 1. Константы 0 и 1 можно рассматривать как нульместные операции. Осн. одноместной логич. связкой является отрицание, которое обозначается через (черточка сверху) или и определяется равенствами: Высказывание отрицанием высказывания X. Осн. двухместные логич. связки приведены в табл. В 1-м столбце таблицы помещены формулы вида с принятым обозначением для каждой связки во некоторые другие изображения формулы, в последовательность значений для значений пары аргументов (X, Y), равных соответственно (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1), в 4-м - встречающиеся в логике и ее приложениях названия связки (и соответствующей формулы), в формулы с соответствующими связкам словами обычного языка. Выражение , которое что-либо утверждает о переменных объектах высказывательной формой с этими свободными вхождениями переменных. Эта форма задает высказывательную ф-цию (предикат) от аргументов т. е. функцию со значениями «истинно» или «ложно». Напр., «я есть простое число», .

Применение квантора общности, квантора существования, оператора дескрипции, оператора абстракции, е-оператора к выражению обозначается соотиетственно через

(где вместо может стоять также любая другая переменная). Любое вхождение переменной в выражении вхождением, связанным соответствующим оператором (если оно не было уже связано некоторым оператором в 21), а выражение областью действия данного оператора. Вхождение, не являющееся связанным никаким оператором, наз. свободным. Форма задает ф-цию только от тех переменных, которые имеют свободные вхождения в эту форму.

Кванторы — это логические операторы, которые позволяют формировать высказывания всеобщности и существования и переводят одну высказывательную форму в другую (обычно с меньшим числом вхождений свободных переменных) или же в высказывание. Если высказывательная форма имеет свободные вхождения переменной то выражение истинно в произвольной области D тогда и только тогда, когда истинно для каждого элемента , а выражение истинно в D тогда и только тогда, если существует такое что истинно Очевидно, связывание квантором переменной, все вхождения которой уже связаны, или переменной, вообще не входящей в формулу, не меняет содержания выражения. Оба квантора связаны между собой следующей эквивалентностью: Другие обозначения квантора ; квантора Наряду с этими кванторами употребляют и т. н. ограниченные кванторы связанные с обычными кванторами следующими эквивалентностями: Часто употребляется квантор единственности единственный такой, что , но он также выражается через кванторы следующим образом:

В расширенном исчислении предикатов кванторами могут связываться также предикатные переменные, напр., . В формальных теориях кванторы вводятся с помощью аксиом и правил вывода.

Выражение , которое представляет собой составное название и у которого список всех переменных, имеющих свободные вхождения в предметной формой (или термом) с этими свободными вхождениями. Этот терм задает некоторую функцию от . Напр., «единственное целое число больше у и меньше форма с единственной переменной у, имеющей свободные вхождения в эту форму), и т. п.

(табл. см. скан)

Оператор дескрипции (соответственно оператор абстракции) переводит высказывательную (соответственно предметную и высказывательную) форму в предметную, обычно с меньшим числом переменных, имеющих свободные вхождения, или же в название определенного предмета. Если предметная (соответственно высказывательная) форма, у которой список всех переменных, имеющих свободные вхождения в , то обозначает при заданных значениях переменных ту функцию (соответственно тот предикат) от аргумента которая (который) каждому значению аргумента сопоставляет значение выражения Таким образом, выражение представляет собой предметную форму, которая задает функцию от принимающую в качестве своих значений некоторые функции (соответственно некоторые предикаты), а именно: для значений аргументов ее значением является ф-ция (соответственно предикат), задаваемая (задаваемый) выражением

В формализованных языках, содержащих оператор абстракции, имеется обычно правило преобразования выражения в выражение , получающееся заменой всех свободных вхождений переменной на а. Отметим, что Выражение именует

одноместную функцию-константу 2. Выражение есть терм со свободными вхождениями переменных ; при любых числовых значениях переменных , напр., при к этот терм именует одноместную функцию-константу, в этом примере — ф-цию, принимающую значение для каждого числа х. Амер. математик А. Чёрч (р. 1903) показал, что всякая общерекурсивная ф-ция (см. Рекурсивные функции) может быть специальным образом определена с помощью некоторого выражения, образованного из переменных, с помощью двух операций: сочленения и абстракции.

Если - высказывательная форма, у которой список всех переменных, имеющих свободные вхождения в и если для существует единственный такой, что истинно е. выполняется условие единственности), то обозначает тот единственный для которого истинно Логики расходятся в своих интерпретациях оператора дескрипции для тех случаев, когда указанное выше условие единственности не удовлетворяется. В некоторых формальных системах употребление оператора дескрипции допускается только после того, как доказано условие единственности. Однако при таком подходе может оказаться неразрешимой проблема определения того, какие из выражений языка являются формулами. Др. логики выбирают раз навсегда определенный объект из области значений соответствующих переменных, который объявляется значением результата применения оператора дескрипции в случае, если не выполняется условие единственности. В качестве такого объекта берется, напр., число «0», если объектами системы являются числа, множество всех таких а, что или пустое множество, если в формальной системе нет различий между объектами и множествами, или некоторая индивидная постоянная с выделенным для нее обозначением, напр., а. Если таким объектом считают а, то выражение определяется как эквивалентное следующему выражению:

(«или существует такой у, что — единственный предмет, для которого ; или такого предмета нет и )

Операторы дескрипции и операторы абстракции можно употреблять не только с предметными переменными, но (в соответствующих системах) и с предикатными и функциональными. В формальных системах, основанных на исчислении предикатов, и те, и др. операторы можно элиминировать (исключить).

Для целей обоснования математики нем. математик Д. Гильберт (1862—1943) построил исчисление с Е-оператором, который делает излишним кванторы. Для высказывательной формы выражение приблизительно обозначает: «некоторый объект удовлетворяющий условию если таковой существует, и некоторый произвольный объект в противном случае». В исчислениях с е-оператором имеется аксиомная схема Исчисления, совмещающие е-оператор и технику естественного вывода, могут представлять некоторые удобства для машинного поиска доказательства теорем на ЭВМ.

Лит.: Карнап Р. Значение и необходимость. Пер. с англ. М., 1959; Чёрч А. Введение в математическую логику. Пер. с англ., т. 1. М., 1960; Fгаenkel A. A., BarHillel Y. Foundations of set theory. Amsterdam, 1958. В. Ф. Костырко.