ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

— уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на линейные и нелинейные. Линейные И. у. имеют вид:

где параметр коэфф. ядро И. у. правая часть , а также область интегрирования D известны; требуется определить неизвестную ф-цию так, чтобы ур-ние (1) удовлетворялось тождественно для всех (или почти всех) значений х в области D. В таком же виде (1) изображаются и системы линейных

И. у. (тогда а матрицы, вектор-ф-ции) и многомерные И. у. (тогда D — многомерная область). Решение И. у. (1) ищется в том классе ф-ций, для которого левая часть (1) с учетом свойств а обладает теми же свойствами, что и правая часть Ур-ние (1) с однородным, в противном случае, т. е. если на множестве положительной меры, — неоднородным. Если а то соответственно ур-нием 1-го или 2-го рода. Если однородное ур-ние 1-го или 2-го рода имеет отличные от нуля решения — собственные ф-ции, то значение параметра характеристическим, при этом для ур-ний 2-го рода наз. собственным значением.

При фредгольмовских ядрах к т. е. ядрах, у которых операторы вполне непрерывны, И. у. ур-ниями типа Фредгольма. Примерами таких ядер являются непрерывные ф-ции к ф-ции с условием а также всевозможные ф-ции со слабыми особенностями, для которых . Если в ур-нии (1) типа Фредгольма к для , то (1) наз. ур-иием Вольтерры. Ур-ние вида

наз. ур-нием Абеля.

И. у. (1), отличные от ур-ний Фредгольма 2-го рода, наз. особыми. К ним принадлежат: И. у. Фредгольма -города, сингулярные И. у. с ядром Коши конечная совокупность непересекающихся кусочно гладких дуг и замкнутых кривых, к и ядром Гильберта кг сингулярные И. у. типа свертки Винера — Хопфа и др. Ядро здесь предполагается фредгольмовским, а ф-ции и а обычно предполагаются интегрируемыми или интегрируемыми вместе со своим квадратом. К особым И. у. принадлежат также многочисленные ур-ния интегральных преобразований: ур-ния Фурье Лапласа Меллина Ханкеля , где ф-ция Бесселя 1-го рода порядка v, и др.

Нелинейные И. у. еще не имеют детальной классификации. Укажем некоторые типы таких ур-ний, имеющих первостепенное значение. Ур-ния Гаммерштейна где к фредгольмовское ядро, нелинейная ф-ция относительно искомой ф. Более общие ур-ния Урысона где к обычно непрерывная ф-ция при х, у е. D и (С - некоторая достаточно большая константа, D — замыкание D). Ур-ния Ляпунова

в которых ф-ция v — известна, число — фиксировано, а суммирование распространено на всевозможные векторы а с неотрицательными целочисленными компонентами. Левая часть равенства интегростепенным рядом. Нелинейное одномерное сингулярное И. у. можно представить в виде где сингулярный интеграл — вполне непрерывные операторы, F — заданная нелинейная ф-ция. Многомерное нелинейное сингулярное И. у. может иметь вид

где - m-мерная поверхность, дифференцируемые ф-ции.

И. у. обычно играют вспомогательную роль и возникают на основе интегр. представлений решений многих задач матем. физики. Преимуществом такого подхода является понижение размерности области определения решений И. у. Точное аналитическое решение И. у., или решение их в замкнутой форме, как правило, невозможно. Поэтому до появления ЭВМ большинство И. у. исследовались лишь качественно. С развитием вычисл. техники и математики для решения широких классов

И. у. разработано много эффективных приближенных методов (см. Интегральных линейных сингулярных уравнений способы решения, Интегральных нелинейных уравнений способы решения).

Лит.: 3абрейко П. П. [и др.]. Интегральные уравнения. М., 1968 [библиогр. с. 432—444]; Трикоми Ф. Интегральные уравнения. Пер. с англ. М., 1960 [библиогр. С. 292—296]. В. В. Иванов.