И. у. (тогда а
матрицы,
вектор-ф-ции) и многомерные И. у. (тогда D — многомерная область). Решение
И. у. (1) ищется в том классе ф-ций, для которого левая часть (1) с учетом свойств а
обладает теми же свойствами, что и правая часть
Ур-ние (1) с
однородным, в противном случае, т. е. если
на множестве положительной меры, — неоднородным. Если а
то
соответственно ур-нием 1-го или 2-го рода. Если однородное ур-ние 1-го или 2-го рода имеет отличные от нуля решения — собственные ф-ции, то значение параметра
характеристическим, при этом
для ур-ний 2-го рода наз. собственным значением.
При фредгольмовских ядрах к
т. е. ядрах, у которых операторы
вполне непрерывны, И. у.
ур-ниями типа Фредгольма. Примерами таких ядер являются непрерывные ф-ции к
ф-ции с условием
а также всевозможные ф-ции со слабыми особенностями, для которых
. Если в ур-нии (1) типа Фредгольма к
для
, то (1) наз. ур-иием Вольтерры. Ур-ние вида
наз. ур-нием Абеля.
И. у. (1), отличные от ур-ний Фредгольма 2-го рода, наз. особыми. К ним принадлежат: И. у. Фредгольма
-города, сингулярные И. у. с ядром Коши
конечная совокупность непересекающихся кусочно гладких дуг и замкнутых кривых, к
и ядром Гильберта
кг
сингулярные И. у. типа свертки
Винера — Хопфа
и др. Ядро
здесь предполагается фредгольмовским, а ф-ции
и а обычно предполагаются интегрируемыми или интегрируемыми вместе со своим квадратом. К особым И. у. принадлежат также многочисленные ур-ния интегральных преобразований: ур-ния Фурье
Лапласа
Меллина
Ханкеля
, где
ф-ция Бесселя 1-го рода порядка v, и др.
Нелинейные И. у. еще не имеют детальной классификации. Укажем некоторые типы таких ур-ний, имеющих первостепенное значение. Ур-ния Гаммерштейна
где к
фредгольмовское ядро,
нелинейная ф-ция относительно искомой ф. Более общие ур-ния Урысона
где к
обычно непрерывная ф-ция при х, у е. D и
(С - некоторая достаточно большая константа, D — замыкание D). Ур-ния Ляпунова
в которых ф-ция v — известна, число
— фиксировано, а суммирование распространено на всевозможные векторы а
с неотрицательными целочисленными компонентами. Левая часть равенства
интегростепенным рядом. Нелинейное одномерное сингулярное И. у. можно представить в виде
где сингулярный
интеграл
— вполне непрерывные операторы, F — заданная нелинейная ф-ция. Многомерное нелинейное сингулярное И. у. может иметь вид
где
- m-мерная поверхность,
дифференцируемые ф-ции.
И. у. обычно играют вспомогательную роль и возникают на основе интегр. представлений решений многих задач матем. физики. Преимуществом такого подхода является понижение размерности области определения решений И. у. Точное аналитическое решение И. у., или решение их в замкнутой форме, как правило, невозможно. Поэтому до появления ЭВМ большинство И. у. исследовались лишь качественно. С развитием вычисл. техники и математики для решения широких классов
И. у. разработано много эффективных приближенных методов (см. Интегральных линейных сингулярных уравнений способы решения, Интегральных нелинейных уравнений способы решения).
Лит.: 3абрейко П. П. [и др.]. Интегральные уравнения. М., 1968 [библиогр. с. 432—444]; Трикоми Ф. Интегральные уравнения. Пер. с англ. М., 1960 [библиогр. С. 292—296]. В. В. Иванов.