ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗ

— раздел автоматического управления теории, изучающий процессы в дискретных (импульсных) системах (ДС) автоматического управления, а также их различные качественные и количественные характеристики (устойчивость, точность, качество переходных процессов и т. п.).

Процесс управления в ДС сопровождается квантованием по времени, поэтому движение таких систем обычно описывают разностными уравнениями.

где фазовых координат однозначно определяющих динамическое состояние ДС в момент времени соответствующий появлению импульса; — порядок ДС; внешнее воздействие (вход ДС); — вектор-функция , равная нулю при выход ДС (регулируемая величина, ошибка регулирования и т. п.); - скалярная функция фазовых координат ДС; номер импульса (независимая переменная системы разностных уравнений ).

Анализ ДС заключается в исследовании свойств решений разностных уравнений (1).

При решения системы (1) описывают свободные движения ДС, а при — вынужденные. В соответствии с этой классификацией и задачи анализа ДС подразделяются на задачи анализа свободных и вынужденных движений. В зависимости от характера правой части системы уравнений (1) различают линейные и нелинейные ДС. Нелинейные ДС отличаются от линейных значительно большим разнообразием и сложностью форм возможных движений, поэтому осн. задачи и особенно методы анализа линейных и нелинейных ДС оказываются существенно различными.

Анализ устойчивости ДС заключается в определении таких соотношений между параметрами системы, при которых исследуемая ДС обладает той или иной формой устойчивости. Для линейных стационарных ДС эта задача решена до конца, поскольку для лих получены устойчивости критерии, устанавливающие необходимые и достаточные условия устойчивости. Для нелинейных и линейных нестационарных ДС такого «окончательного» решения не существует; для них известны только общие методы решения задачи (см., напр., Ляпунова методы), которые, как правило, дают лишь достаточные условия устойчивости. Для некоторых наиболее простых классов нелинейных ДС (напр., ДС, состоящие из соединенных между собой линейных и нелинейных блоков) получены критерии устойчивости, которые в явном виде накладывают ограничения на параметры системы; однако эти критерии в общем случае также определяют лишь достаточные условия устойчивости. Нелинейные ДС (в отличие от линейных) могут быть устойчивыми не при всех начальных состояниях. В связи с этим возникает задача об устойчивости в области, заключающаяся в том, чтобы в пространстве фазовых координат отыскать область таких начальных состояний, из которых ДС приходит в заданное равновесное (стационарное) состояние (см. Устойчивости дискретных систем теория).

Анализ качества процесса регулирования представляет собой исследование реакции ДС автомат, управления на различного рода типовые воздействия. В качестве таких воздействий применяют:

1) функции ступенчатые при

2) гармонические ф-ции

где — амплитуда и начальная фаза гармонического воздействия, — относительная частота (в радианах), Т — шаг квантования по времени, а — частота; и

3) стационарные случайные ф-ции, заданные своей спектральной плотностью или корреляционной функцией И т. п.

Для линейных ДС задачи анализа качества процесса регулирования (см. Критерии качества систем автоматического управления), как правило, могут быть решены точно, поскольку в этом случае при детерминированных пробных воздействиях решения системы уравнений (1) можно найти аналитически в виде явных ф-ций независимой переменной , а при стационарных случайных пробных воздействиях можно определить статистические характеристики (спектральную плотность и корреляционную ф-цию) реакции ДС. Для нелинейных ДС эти задачи удается решить только в наиболее простых случаях и притом лишь приближенно (на уровне оценок). Наиболее удобным матем. аппаратом, применяемым для решения подобных задач, является Лапласа дискретное преобразование (или преобразование Фурье). Для приближенного анализа качества процессов в нелинейных ДС широко применяется также аппарат гармонической или статистической линеаризации.

Анализ периодических процессов (автоколебаний). Система разностных уравнений (1) может иметь незатухающие колебательные (периодические) решения, удовлетворяющие соотношение

где — период колебаний. В линейных ДС таким решениям соответствуют колебательные процессы, находящиеся на грани устойчивости (консервативные системы). В нелинейных ДС процессы вида (4) могут быть устойчивыми; в этом случае они наз. автоколебаниями. Задача анализа автоколебаний заключается в определении параметров (амплитуды, периода и т. п.) периодических процессов и в отыскании условий, при которых эти процессы обладают той или иной формой устойчивости. Параметры периодических процессов можно определять как точными (метод припасовывания), так и приближенными (метод гармонической линеаризации) методами. Точные методы, хотя и дают возможность отыскать истинные значения параметров процесса, требуют выполнения громоздких и трудоемких вычислений. Вопрос об устойчивости найденных периодических процессов в этом случае может быть решен строго, на основе 1-го метода Ляпунова. Приближенные методы приводят, как правило, к гораздо менее громоздким вычислениям, но полученные при этом оценки параметров периодических процессов и особенно оценки их устойчивости не обладают достаточной строгостью. Однако как точные, так и приближенные методы обычно требуют априорной информации о возможных формах периодических процессов (число импульсов на период — N, число перемен знака импульсов на период и т. п.), что существенно затрудняет их практическое применение и снижает пенность результатов исследования.

Анализ диссипативности нелинейных ДС. Нелинейная ДС наз. диссипативной (иногда — предельно ограниченной), если существует

такое число и для любого начального состояния такое достаточно большое число что для всех (или для всех из некоторой ограниченной области)

где символ означает норму вектора Практически это означает, что из любых начальных состояний (или из некоторой ограниченной области) ДС стремится в некоторую окрестность (5) начала координат фазового пространства и при всех не покидает эту окрестность. Задача анализа диссипативности нелинейных ДС заключается в определении условий (ограничений на параметры ДС), при которых ДС стремится в указанную окрестность, а также в определении ее размеров (числа ). ДС может иметь устойчивые или неустойчивые точки равновесия и устойчивые или неустойчивые предельные циклы, соответствующие различным периодическим процессам; но если эта система диссипативна, то все указанные точки и циклы принадлежат окрестности (5). Таким образом, анализ диссипативности позволяет получить оценку точности ДС в установившемся режиме, но не позволяет сделать каких-либо выводов о длительности и качестве переходного процесса. Анализ диссипативности целесообразно производить в тех случаях, когда в ДС могут существовать многие различные формы периодических процессов, но априорной информации об их числе и формах нет. В этих случаях анализ диссипативности позволяет получить некоторые оценки точности процесса регулирования, не прибегая к трудоемким вычислениям, связанным с детальным анализом всех возможных форм периодических процессов. Для анализа диссипативности применяется матем. аппарат функций Ляпунова, а в тех случаях, когда система ур-ний (1) содержит линейную часть, применяются также и частотные методы. Конкретный вид системы разностных ур-ний (1), а следовательно, и конкретные методы решения различных задач анализа ДС существенно зависят от вида модуляции импульсной (способа квантования) — АИМ, ШИМ или ЧИМ, — примененного в системе.

Лит.: Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М., 1963 [библиогр. с. 926—963]; Проблемы теории импульсных систем управления. Итоги науки. М., 1966 [библиогр. с. 173—174]; Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтноимпульсной модуляцией. К., 1970 [библиогр. с. 330—336].

В. М. Кунцевич, Ю. Н. Чеховой.