АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ

— одна из абстракций матема тики и логики, состоящая в отвлечении от реальных границ конструктивных возможностей, обусловленных ограниченностью нашей жизни в пространстве, во времени и в материалах. А. п. о. позволяет вводить в рассмотрение объекты, не учитывая возможности их реализации (напр., не учитывая требуемых для этого средств, места и т. п.), а принимая во внимание лишь возможность их построения в том смысле, что имеется эффективный (конструктивный) способ (алгоритм) для такого построения. В рамках А. п. о., напр., последовательность натуральных чисел есть потенциально осуществимый объект, т. к. нетрудно задать индуктивное определение, порождающее любое натуральное число. Но множество всех натуральных чисел не является потенциально осуществимым объектом, т. к. не может быть построено в рамках А. п. о.: немыслим эффективный способ построения всех вместе натуральных чисел. А. п. о. лежит в основе понятий потенциальной бесконечности как такого дискретного процесса, что если из потенциальной осуществимости некоторого шага процесса построения объекта следует потенциальная осуществимость следующего (непосредственно) шага, то потенциально осуществим любой шаг процесса (т. о., известное правило полной матем. индукции предполагает А. п. о.). Конструктивная математика и конструктивная матем. логика, отвергая абстракцию актуальной бесконечности, принимают А. п. о. Хотя А. п. о. — естественная предпосылка многих разделов теор. кибернетики, в последней строятся и теории, ограничивающие в той или иной форме эту абстракцию, т. к. в реальных кибернетических системах невозможны потенциально бесконечные процессы.

Лит.: Шанин Н. А. О конструктивном понимании математических суждений. «Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», 1958, т. 52; Козмидиади В. А. О множествах, разрешимых и перечислимых автоматами. В : Проблемы логики. М., 1963; Петров Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. М.. 1967 [библиогр. с. 160—162].

Б. В. Бирюков, Ю. А. Петров.