ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Задача отыскания решения нелинейного интегр. ур-ния (н. и. у.) продолжает оставаться одной из сложных задач вычислительной математики. Среди наиболее распространенных в практике н. и. у. и их систем многие являются частными случаями ур-ния типа Урысона (см. Интегральные уравнения)

где неизвестная ф-ция, — числовой параметр, — ограниченная замкнутая область в n-мерном эвклидовом простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), — заданная ф-ция. Его решение, как правило, может быть найдено только приближенно. Рассмотрим методы решения ур-ний этого типа.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что если в ур-нии (1) ф-ция может быть представлена рядом

где ф-ции непрерывны, то искать решение ур-ния (1) можно в виде степенного ряда

Подставим этот ряд в ур-ние (1), воспользовавшись разложением (2), а также рядом для вида

коэфф. которого определены рекуррентно

Приравнивая коэфф. при одинаковых степенях , получаем ф-лы для последовательного нахождения коэфф. ряда (3)

((р.п-р) находятся из соотношений (4)). Ряд (3) при определенных условиях — сходящийся. Напр., при выполнении условий

где постоянные, интегр. имеет Р круге единственное решение, которое можно представить рядом (3), сходящимся регулярно. Быстрота сходимости характеризуется оценкой

где

За прибл. решение ур-ния (1) принимают частичную сумму вида (5). Погрешность такого решения может быть априорно оценена с помощью неравенства

В методе последовательных приближений выбираем способом начальное приближение к искомому решению ур-ния (1) и строим итерационный процесс вида

Если известно, что последовательные приближения (6) сойдутся к решению ур-ния (1), то,

остановив процесс на конечном шаге, мы получим прибл. решение данного ур-ния.

Приведем один из результатов о сходимости процесса (6). Пусть ф-ция непрерывна вместе с производной по совокупности переменных , и пусть

где Тогда при любой непрерывной ф-ции из области

последовательные приближения (6) сходятся равномерно к непрерывному решению ур-ния (1), которое расположено в области (7) и единственно в этой области. Быстрота сходимости определяется неравенством

При неравенство (8) дает априорную оценку погрешности приближения. Апостериорная и, вообще говоря, более точная оценка имеет вид

Трудности в вычислении квадратур, возникающие при реализации процесса (6), могут быть преодолены привлечением способов прибл. интегрирования. Обобщением процесса (6) является алгоритм осреднения функциональных поправок.

Аналог метода Ньютона решения алгебр, ур-ний является одним из эффективных методов решения н. и. у. (1). Введем итерационный процесс

где предложенный сов. математиком Л. В. Канторовичем и имеющий сверхбыструю сходимость второго порядка. Здесь на каждом шаге относительно поправки решается линейное интегр. ур-ние (см. Интегральных линейных уравнений способы решения). Если ф-ция непрерывна вместе с производными по совокупности переменных и выполнены условия:

а) для начального приближения ядро имеет резольвенту причем

б) невязка ур-ния (1) на приближении удовлетворяет неравенству

в) в области имеем

г) постоянные и К подчинены условию процесс Ньютона-Канторовича (9) сходится при этом равномерно к решению ур-ния (1), расположенному в области

и единственному в области . Быстрота сходимости определяется оценкой

Такие утверждения, помимо установления сходимости алгоритма, представляют собой теоремы о существовании, области расположения и области единственности решения н. и. у. Отыскание начального приближения удовлетворяющего указанным условиям и представляющего грубо прибл. решение ур-ния (1), является самостоятельной задачей, для решения которой общие рецепты не могут быть даны. Выбор того или иного способа получения диктуется видом ур-ния (1) или характером изучаемой проблемы. Если требуемое найдено, то высокая скорость сходимости процесса (9) обеспечивает получение прибл. решения ур-ния (1) с достаточной для практики точностью после небольшого к-ва итерационных шагов. Априорная оценка погрешности приближения может быть подсчитана по Более точную, апостериорную оценку даст неравенство если во всех соответствующих выражениях заменить на и пересчитать соответствующие постоянные.

Другим эффективным методом решения н. и. у. является аналог метода Эйткена — Стеффенсена решения

алгебр, ур-ний. Введем итерационный процесс

где . Теоремы сходимости этого метода по общей идее представляют видоизменения соответствующих теорем для метода Ньютона. Алгоритм (12) имеет сверхбыструю сходимость второго порядка, но не требует вычисления на каждом итерационном шаге производной При этом, будучи основан на идее интерполирования, он иногда фактически сходится быстрее алгоритма Ньютона.

Метод кубатурных формул позволяет при решении н. и. у. (1) заранее избежать точного вычисления квадратур и необходимости решать линейные интегр. ур-ния. Для этого пользуются методом замены интеграла в самом ур-нии конечной суммой по какой-либо кубатурной Пусть для простоты ур-ние (1) одномерное

где ф-ция непрерывна по совокупности переменных. Возьмем квадратурную ф-лу

где узлы Пользуясь этой ф-лой, ур-ние (1) запишем в виде

где точное решение ур-ния).

Полагая в ур-нии , получаем

Отбросив здесь малую величину приходим к нелинейной системе

Ее неизвестные принимаются за прибл. значения искомого решения в узлах квадратурной ф-лы. Дальнейшая задача состоит в решении системы (17), для чего могут быть использованы все известные способы решения систем нелинейных алгебр, ур-ний. Затем, когда численное решение ур-ния (1) найдено, его можно проинтерполировать (см. Интерполирование функций) на весь промежуток исходя из равенства (15), отбросив внем и заменив решением системы (17). В результате получаем прибл. решение ур-ния (1)

Если (14) — обобщенная квадратурная ф-ла с шагом h и равноотстоящими узлами, то некоторое представление о погрешности решения системы (17), вызванной отбрасыванием в системе (16) величины можно получить, сравнивая это решение с аналогичным h решением для шага — в совпадающих узлах.

Получена также и строгая апостериорная оценка погр. решения ур-ния (18) для случая произвольной квадратурной ф-лы. Изложенные методы пригодны также для ур-ний с переменным пределом интегрирования, т. е. для нелинейных ур-ний Вольтерры, и их можно реализовать на ЦВМ.

Для многих типов одномерных интегр. ур-ний эффективными средствами решения являются аналоговые и гибридные вычисл. машины (АВМ и ГВМ). Напр., для ур-ния при замене процесс поиска решения состоит в минимизации нормы для суммы невязок приближения). Каждое приближение воспроизводится автоматически в течение интервала времени на каждом шаге минимизации. Удобство воспроизведения нелинейных зависимостей и многочленов на АВМ и ГВМ позволяет реализовать многие алгоритмы вариационных методов для достаточно сложных н. и. у. При этом независимая переменная представляется временем обеспечивается периодическое

воспроизведение минимизируемого функционала, а процесс минимизации можно автоматизировать или поручить оператору, который управляет свободными параметрами, наблюдая за поведением минимизируемого функционала по осциллографу. Ур-ние Вольтерры с вырожденными и разностными ядрами решают алгоритмически, путем построения их электронных моделей-аналогов и измерения напряжений, изменяющихся во времени по закону При решении нелинейных ур-ний Вольтерра с ядром общего вида моделируется оператор вида что дает возможность реализовать метод последовательных приближений с небольшой затратой аппаратуры или получить прибл. решение в виде кусочно-ломаной ф-ции путем непосредственного аналого-дискретного моделирования с использованием интеграторов в равном отрезков дискретизации.

Лит.: Назаров Н. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. «Труды Среднеазиатского университета. Серия 5-а. Математика», 1941, в. 33; Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича для решения нелинейных функциональных уравнений и его применениях. «Вестник Ленинградского университета. Серия математики, физики и химии», 1953, JMs 11, в. 4; Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 [библиогр. с. 671—680]; Мысовских И. П. О методе механических квадратур для решения интегральных уравнений. «Вестник Ленинградского университета. Серия математики и астрономии», 1962, №7, в. 2; Ульм С. Алгоритмы обобщенного метода Стеффенсена. «Известия АН Эстонской ССР. Серия физико-математических и технических наук», 1965, № 3; Бельтюко в Б. А. Аналог метода Рунге—Кутта для решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. «Дифференциальные уравнения», 1965, т. 1, № 4; Бельтюков Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1965, т. 5, JMs 5; Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок. К., 1967 [библиогр. с. 327—328]; Забрейко П. П. [и др.]. Интегральные уравнения. М., 1968 [библиогр. с. 432—444]; Красносельский М. А. [и др.]. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969 [библиогр. с. 437—452]; Верлань А. Ф. Методы решения интегральных уравнений на аналоговых вычислительных машинах. К., 1972 [библиогр. с. 211-217].

Б. А. Бельтюков, А. Ф. Верлань.