Раздел II. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ, ПРОЕКТОРЫ И НАБЛЮДАЕМЫЕ

§ 7. Сопряженные операторы и правила сопряжения

Исходя из взаимооднозначного соответствия между сопряженными бра- и кет-векторами, можно получить аналогичное правило сопряжения между линейными операторами.

Пусть А — линейный оператор. Пусть есть кет-вектор, сопряженный бра-вектору Вектор зависит от бра-вектора антилинейно, следовательно, это линейная функция Такое линейное соответствие определяет линейный оператор, который называют оператором, эрмитово сопряженным А, или оператором, присоединенным к А, и обозначают символом

Ясно, что если и наоборот.

Поскольку есть кет-вектор, сопряженный бра-вектору скалярное произведение этого кет-вектора на

произвольный бра-вектор есть величина, комплексно сопряженная, скалярному произведению на (свойство (8)). Отсюда лолучаем чрезвычайно важное соотношение

Так как это равенство справедливо, какими бы ни были кет-вектор, сопряженный равен Следовательно, оператор, эрмитово сопряженный оператору есть сам оператор А:

Аналогичным образом получаем следующие фундаментальные соотношения:

Отметим перемену порядка сомножителей в правой части (24), дающей выражение для оператора, присоединенного к Далее, оператор, присоединенный к оператору есть

Эрмитово сопряжение для операторов играет ту же роль, что и сопряжение между бра- и кет-векторами и комплексное сопряжение для чисел. Все эти операции сопряжения имеют большое значение в развиваемом формализме. Обозначения Дирака позволяют производить их без труда в любом алгебраическом выражении. Достаточно следовать таким простым правилам: все числа заменяются на комплексно сопряженные, все бра на сопряженные кет и наоборот, все операторы — на эрмитово сопряженные, а порядок символов в каждом члене меняется на противоположный (т. е. порядок бра-векторов, кет-векторов и операторов).

Эти правила являются очевидным обобщением соотношений (20), (24) и (25). Дадим несколько примеров. Оператор, эрмитово сопряженный оператору есть оператор бра-вектор, сопряженный кет-вектору есть вектор величина, комплексно сопряженная , есть