Раздел II. ПРИЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА
§ 8. Производящая функция собственных функций
В качестве примера приложения результатов теории найдем производящую функцию собственных функций 
т. е. функцию
где 
— соответствующие постоянные нормировки. Ввиду того что 
представляет вектор 
(уравнение (20)), функция 
представляет вектор
Если выбрать
то 
будет представлять вектор 
Для вычисления последнего выражения воспользуемся следующей леммой.
Лемма. Если коммутатор двух операторов А и В коммутирует с каждым из них
то имеет место тождество
Приводимое нами доказательство принадлежит Глауберу. Рассмотрим оператор, зависящий от параметра х
Имеем
Но поскольку 
коммутирует с А:
Следовательно (см задачу VI(1.4),
так что
Оператор 
является решением этого дифференциального уравнения, причем 
Поскольку операторы 
коммутируют, они могут рассматриваться здесь согласно обычным правилам алгебры. Дифференциальное уравнение интегрируется без труда и дает
Тождество (29) следует, если положить 
Взяв 
применим тождество 29) к оператору 
тогда
Перенося это выражение в уравнение (28), получаем
Но
Воспользовавшись выражением (26) для 
после вычислений получим
