§ 15. Обобщенные функции медленного роста

Обобщенные функции медленного роста (или умеренные обобщенные функции) по определению являются линейными и непрерывными функционалами от функций х, т. е. основных функций.

Все свойства обобщенных функций, указанные в разделе I, распространяются на обобщенные функции медленного роста. Достаточно всюду вместо функций подставить функции X- В частности, обобщенные функции медленного роста бесконечно дифференцируемы и все их производные являются обобщенными функциями медленного роста.

Квадратично интегрируемые функции, функции, ограниченные во всем пространстве, и вообще все локально интегрируемые медленно растущие функции (для которых можио найти два таких положительных числа А и а, что определяют обобщенные функции медленного роста; и все их производные являются обобщенными функциями медленного роста.

Решения задач волновой механики на собственные значения являются линейными и непрерывными функционалами волновых функций, т. е. квадратично интегрируемых функций Следовательно, это суть линейные и непрерывные функционалы функций т. е. обобщенные функции медленного роста.

Интерес к обобщенным функциям медленного роста связан с замечательными свойствами их преобразований Фурье.

Если есть обобщенная функция медленного роста (определенная на функциях типа

1°. Ее преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье существуют всегда и являются обобщенными функциями медленного роста (определенными на функциях Они определяются формулами:

2°. Преобразования взаимны:

3°. Производные преобразуются согласно закону: