§ 15. Обобщенные функции медленного роста
Обобщенные функции медленного роста (или умеренные обобщенные функции) по определению являются линейными и непрерывными функционалами от функций х, т. е. основных функций.
Все свойства обобщенных функций, указанные в разделе I, распространяются на обобщенные функции медленного роста. Достаточно всюду вместо функций 
подставить функции X- В частности, обобщенные функции медленного роста бесконечно дифференцируемы и все их производные являются обобщенными функциями медленного роста.
Квадратично интегрируемые функции, функции, ограниченные во всем пространстве, и вообще все локально интегрируемые медленно растущие функции 
(для которых можио найти два таких положительных числа А и а, что 
определяют обобщенные функции медленного роста; 
и все их производные являются обобщенными функциями медленного роста.
Решения задач волновой механики на собственные значения являются линейными и непрерывными функционалами волновых функций, т. е. квадратично интегрируемых функций 
Следовательно, это суть линейные и непрерывные функционалы функций 
т. е. обобщенные функции медленного роста.
Интерес к обобщенным функциям медленного роста связан с замечательными свойствами их преобразований Фурье.
Если 
есть обобщенная функция медленного роста (определенная на функциях типа 
1°. Ее преобразование Фурье 
и обратное преобразование Фурье 
существуют всегда и являются обобщенными функциями медленного роста (определенными на функциях 
Они определяются формулами:
2°. Преобразования 
взаимны:
3°. Производные преобразуются согласно закону:
