§ 16. Чистые и смешанные состояния

На практике полное «приготовление» системы, упомянутое выше, осуществляется редко. Чаще всего измеренные динамические переменные не составляют полного набора, и динамическое состояние системы известно не точно. В этих случаях прибегают к статистическим методам. Вместо строго заданного динамического состояния системы мы имеем статистическую смесь состояний. Не имея возможности описать состояние системы одной определенной волновой функцией, мы рассматриваем статистическую смесь волновых функций, причем каждая волновая функция входит со своим статистическим весом. Подобно классической статистической механике, существует квантовая статистическая механика.

Когда «приготовление» полное и, следовательно, динамическое состояние системы известно точно, говорят, что мы имеем дело с чистым состоянием, в противном случае говорят, о смешанном состоянии.

В предсказании результатов измерений при смешанном состоянии статистика играет двойную роль: с одной стороны она отражает наличие чисто квантовых неопределенностей, связанных с неконтролируемым возмущением системы в операции измерения, с другой стороны — учитывает неполноту информации о динамическом состоянии физической системы.

Предположим, что в момент «приготовления» системы она может быть описана совокупностью волновых функций со статистическими весами Пусть решения уравнения Шредингера, соответствующие начальным значениям . В момент времени система представляется ансамблем этих функций с теми же статистическими весами

Пусть есть среднее значение результатов из мерения некоторой величины в том случае, когда система находится в динамическом состоянии

Тогда среднее значение результатов измерения при статистической смеси состояний в момент времени дается формулой

Аналогично, если есть вероятность получить результат когда динамическое состояние системы представляется функцией то вероятность найти этот результат при измерении на смеси равна

Важнейший пример квантовостатистического смешанного состояния дает система, находящаяся в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т. Здесь возможными динамическими состояниями являются собственные состояния гамильтониана Н системы, статистический вес данного собственного состояния зависит исключительно от соответствующего ему собственного значения Н и равен с точностью до нормировочной постоянной фактору Больцмана , где Е — собственное значение постоянная Больцмана.