§ 16. Квадратично интегрируемые функции

Квадратично интегрируемые функции определяют обобщенные функции медленного роста.

Если условиться не считать различными две функции, равные почти всюду (т. е. всюду, кроме множества точек меры нуль), то свойства преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста распространяются на квадратично интегрируемые функции. Но к этим свойствам добавляются еще и свойства, специфические для квадратично интегрируемых функций. Основные теоремы таковы:

Теорема I. Если -квадратично интегрируемая функция, то интеграл

сходится в смысле среднего квадратичного к квадратично интегрируемой функции:

Теорема II. Соответствие между взаимно в том смысле, что

Для всякого значения х, в окрестности которого имеет ограниченную вариацию,

Теорема III. Пусть квадратично интегрируемые функции являются фурье-преобразованиями друг друга. Если производная есть квадратично интегрируемая функция, то ее преобразование Фурье есть квадратично интегрируемая функция и, наоборот, если есть квадратично интегрируемая функция, то дифференцируема и есть обратное преобразование Фурье от . Аналогичное соответствие связывает пару

Замечание. Даже если как функция не всюду дифференцируема, обобщенная функция (медленного роста) существует всегда; ее преобразование Фурье есть обобщенная функция (медленного роста) как функция, эта последняя может не быть квадратично интегрируемой функцией.

Преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение квадратично интегрируемых функций (Парсеваль).

Теорема IV. Если являются преобразованиями Фурье квадратично интегрируемых функций то

иначе говоря

(кликните для просмотра скана)

Частным случаем этой теоремы является сохранение нормы