§ 13. Частица в области действия скалярного потенциала

Чтобы образовать волновое уравнение частицы при наличии потенциала начнем с «приближения геометрической оптики» и попробуем написать уравнение распространения для волнового пакета следующее из теории де Бройля.

Центр пакета перемещается как классическая частица, положение, импульс и энергию которой мы обозначим соответственно как . Эти величины связаны соотношением

где есть классическая функция Гамильтона. Предположим, что явно от времени не зависит (консервативная система), хотя это требование не является существенно необходимым в наших рассуждениях. Следовательно, есть интеграл движения, а являются вполне определенными функциями времени. В условиях нашего приближения

остается практически постоянным на расстояниях порядка размеров области протяженности волнового пакета; поэтому

С другой стороны, если ограничиваться малыми интервалами времени, когда относительные изменения пренебрежимо малы, то можно рассматривать как суперпозицию плоских монохроматических волн типа (11), причем частоты близки к , а волновые векторы близки к Поэтому можно считать, что

а взяв дивергенцию от последнего выражения, получаем

Комбинируя соотношения (21), (22) и (23) так, чтобы удовлетворить соотношению (20), находим

Волновой пакет удовлетворяет, по крайней мере приближенно, волновому уравнению искомого типа. Мы приходим к естественному выводу, что это уравнение можно принять как уравнение волны частицы при наличии потенциала. Постулируем, что в самом общем случае, даже когда не выполняются условия приближения «геометрической оптики», волна Т удовлетворяет уравнению

Это — уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области действия потенциала .