§ 6. Операторы рождения и уничтожения

Операторы были введены для упрощения решения задачи на собственные значения. Если оператор является гамильтонианом одной частицы в одном измерении, то эти операторы не имеют непосредственного физического смысла.

Однако задача на собственные значения допускает и другую интерпретацию. Ввиду того, что уровни энергии эквидистантны с промежутком можно рассматривать как гамильтониан системы тождественных частиц, находящихся в одном энергетическом состоянии число которых N может изменяться, так что каждое собственное состояние соответствует определенному значению , следовательно, определенному значению полной энергии. Тогда вектор представляет состояние, в котором присутствует частиц: вектор представляет состояние без частиц (вакуум). При переходе от состояния к состоянию число частиц увеличивается на единицу, а полная энергия системы возрастает на величину Замечаем, однако, что энергия пустого состояния равна не нулю, а величине этой аномалии можно избежать, если о качестве оператора энергии системы взять не , но

Согласно этой интерпретации, оператор N представляет число частиц, и его собственные значения суть целые числа от 0 до . Оператор преобразует состояние с частицами в состояние с частицей: есть оператор рождения. Оператор а наоборот уменьшает на единицу число присутствующих частиц: а есть оператор уничтожения.

Подобная интерпретация гармонического осциллятора широко используется в квантовой теории поля и в теории кристаллических и молекулярных колебаний. Электромагнитное поле, например, может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн, характеризуемых вектором поляризации и волновым вектором соответствующая частота равна Классически интенсивность каждой составляющей может изменяться непрерывно, но в квантовой теории эти изменения происходят скачкообразно целыми световыми квантами или фотонами с энергией Гамильтониан квантового электромагнитного поля выражается совокупностью членов, относящихся к фотонам определенного типа, который характеризуется и (пусть индекс обозначает комбинированный индекс

Каждый парциальный гамильтониан может быть записан в форме

Операторы и эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют коммутационным соотношениям

которые являются простым обобщением соотношения (10). При этом операторы и интерпретируются соответственно, как операторы рождения и уничтожения фотона типа (см. гл. XXI, т. II).