§ 6. Операторы рождения и уничтожения
Операторы
были введены для упрощения решения задачи на собственные значения. Если оператор
является гамильтонианом одной частицы в одном измерении, то эти операторы не имеют непосредственного физического смысла.
Однако задача на собственные значения
допускает и другую интерпретацию. Ввиду того, что уровни энергии эквидистантны с промежутком
можно рассматривать
как гамильтониан системы тождественных частиц, находящихся в одном энергетическом состоянии
число которых N может изменяться, так что каждое собственное состояние
соответствует определенному значению
, следовательно, определенному значению полной энергии. Тогда вектор
представляет состояние, в котором присутствует
частиц: вектор
представляет состояние без частиц (вакуум). При переходе от состояния
к состоянию
число частиц увеличивается на единицу, а полная энергия системы возрастает на величину
Замечаем, однако, что энергия пустого состояния равна не нулю, а величине
этой аномалии можно избежать, если о качестве оператора энергии системы взять не
, но
Согласно этой интерпретации, оператор N представляет число частиц, и его собственные значения суть целые числа от 0 до
. Оператор
преобразует состояние с
частицами в состояние с
частицей:
есть оператор рождения. Оператор а наоборот уменьшает на единицу число присутствующих частиц: а есть оператор уничтожения.
Подобная интерпретация гармонического осциллятора широко используется в квантовой теории поля и в теории кристаллических и молекулярных колебаний. Электромагнитное поле, например, может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн, характеризуемых вектором поляризации
и волновым вектором
соответствующая частота равна
Классически интенсивность каждой составляющей может изменяться непрерывно, но в квантовой теории эти изменения происходят скачкообразно целыми световыми квантами или фотонами с энергией
Гамильтониан квантового электромагнитного поля выражается совокупностью членов, относящихся к фотонам определенного типа, который характеризуется
и
(пусть индекс
обозначает комбинированный индекс
Каждый парциальный гамильтониан может быть записан в форме
Операторы
и эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют коммутационным соотношениям
которые являются простым обобщением соотношения (10). При этом операторы и
интерпретируются соответственно, как операторы рождения и уничтожения фотона типа
(см. гл. XXI, т. II).