Раздел I. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

§ 2. Общие свойства

Для проявления типично квантовых эффектов необходимо, чтобы потенциал заметно изменялся на расстояниях порядка длины волны. Наиболее простым типом потенциала, отвечающего этому требованию, является прямоугольный потенциал: это потенциал, обладающий разрывами непрерывности первого рода (т. е. резкими скачками конечной величины) в некоторых точках, а между этими точками постоянный. Ось х таким образом подразделяется на некоторое число интервалов, в каждом из которых потенциал имеет вполне определенное постоянное значение.

Наличие разрывов первого рода у потенциала не изменяет условия регулярности, которым должна удовлетворять

функция Действительно, согласно уравнению Шредингера,

Следовательно, в точках скачков потенциала функция также разрывна, но первообразная , а также остаются всюду непрерывными функциями.

Пусть теперь есть значение (постоянное) потенциала интервале Общее решение в этой области есть линейная комбинация экспоненциальных функций. Но поведение решения существенно зависит от знака

Если то мы имеем комбинацию экспонент с мнимыми показателями: , т. е. фактически комбинацию синуса и косинуса; поведение решения имеет «оецилляторный» характер.

Если же то имеет место комбинация действительных экспонент и . В этом случае мы говорим, что решение имеет «экспоненциальный» характер поведения.

Чтобы написать общее решение дифференциального уравнения, сначала выражают его в виде линейной комбинации экспонент (действительных или мнимых) в каждом из интервалов. Параметры этих комбинаций (число их равно находятся из условий непрерывности функции и ее производной в точках разрыва непрерывности потенциала. Это дает условий, поскольку имеется точка разрыва. Общее решение таким образом, оказывается зависящим от двух произвольных параметров, что и следовало ожидать. Чтобы получаемое решение было собственной функцией необходимо, чтобы оно было ограничено на всей оси, т. е. оказывалось ограниченным в каждом из пределов Заметим, что если энергия меньше значения потенциала во всем интервале то общее решение всюду имеет экспоненциальный характер. Вторая производная всюду имеет тот же знак, что и сама функция . Отсюда нетрудно вывести, что общее решение экспоненциально растет при или или же в обоих случаях. Задача на собственные значения при этом не имеет решения. Отметим, что и в классической механике движение возможно только, если энергия превосходит значение лотенциала хотя бы в некоторой части интервала .

Если превосходит хотя бы одну из величин то существование и число собственных функций зависят от характера поведения (осцилляторного или экспоненциального) общего решения в двух бесконечно удаленных концах оси х.