Раздел II. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА

§ 7. Сферические функции Бесселя

Если в интервале существуют области, где потенциал имеет постоянное значение

то в этих областях радиальное уравнение принимает особенно простую форму и его общее решение является линейной комбинацией хорошо известных функций, а именно сферических функций Бесселя.

Предположим, что Если положить

то уравнение (20) принимает вид

Тогда радиальная функция рассматриваемая как функция от является решением «сферического уравнения Бесселя»

Общее решение уравнения (25) есть линейная комбинация двух частных решений. Наиболее часто применяемые частные решения приведены в Дополнении Б (§ 6); это функции Из них только является регулярной в начале координат (ведет себя как три остальные имеют в начале координат полюс порядка Функции являются вещественными и на бесконечности ведут себя как стоячие волны:

Функции асимптотически ведут себя как расходящаяся и сходящаяся волны соответственно:

В случае полагаем

и все сказанное выше остается справедливым, если только заменить всюду на . В частности, асимптотические формулы (26) и (27) остаются в силе. Единственной радиальной функцией, ограниченной на бесконечности, является функция она экспоненциально стремится к нулю. Точнее, функция является вещественной, равной произведению на полином степени I от так что асимптотически