§ 11. «Представление» Гейзенберга и принцип соответствия

Как мы видели, «представления» Шредингера и Гейзенберга строго эквивалентны. На практике чаще используется «представление» Шредингера, так как оно более удобно для вычислений. Решение уравнения Шредингера, т. е. уравнения для векторов, a priori должно быть проще решения уравнения Гейзенберга, которое является операторным уравнением. Однако некоторые свойства квантовых систем наиболее отчетливо проявляются в «представлении» Гейзенберга.

Особенно ярко проявляется в «представлении» Гейзенберга формальная аналогия между классической и квантовой теориями. Подобно движению классической системы движение квантовой системы в «представлении» Гейзенберга описывается зависимостью от времени характеризующих систему динамических переменных.

Рассмотрим поэтому квантовую систему, обладающую классическим аналогом, и сравним описание движения двух систем-Каждой физической величине классической системы соответствует физическая величина квантовой системы. Единственное различие состоит в том, что физические величины классической системы подчиняются правилам обычной алгебры, в то время как их квантовые аналоги представляют собой операторы и подчиняются законам некоммутативной алгебры. Но в тех случаях, когда можно отождествить выражения некоммутативной алгебры с выражениями обычной алгебры, уравнения движения квантовых величин совпадают с уравнениями для их классических аналогов. Действительно, уравнения Гейзенберга для переменных могут быть записаны в форме

При выводе этих уравнений учитывались основные коммутационные соотношения между и и свойства (V. 67) и (V. 68), которые из них следуют. Система уравнений (I) формальна идентична канонической системе уравнений Гамильтона классической механики.

Всякая классическая динамическая переменная подчиняется уравнению движения

где обозначает так называемые скобки Пуассона

Мы видим, что классическое уравнение (42) совпадает с уравнением Гейзенберга, если можно отождествить скобки Пуассона с коммутатором Пользуясь основными коммутационными соотношениями и сходством правил алгебры коммутаторов и алгебры скобок Пуассона, можно действительно показать идентичность этих двух выражений, выбирая соответствующим образом порядок в явном выражении скобок Пуассона.