§ 10. Структура спектра собственных значений

Пусть и являются предельными значениями при соответственно. Дальнейшие выводы остаются справедливыми, если одно и (или) другое предельные значения оказываются равными Величины делят область изменения на три области, в которых спектр собственных значений имеет различную природу. Положим, для определенности, что

В области разность остается положительной на обоих концах интервала . Всякое решение уравнения (5), ограниченное при допустимо в качестве собственной функции, поэтому есть двукратно вырожденное собственное значение. Спектр собственных значений непрерывный и вырожденный. С другой стороны, в обеих асимптотических областях собственные функции бесконечно осциллируют между двумя противоположными конечными предельными значениями: они представляют несвязанные состояния.

В области где разность в пределе отрицательна, существует только одно ограниченное (экспоненциально убывающее) решение, в отрицательной асимптотической области. Это решение остается ограниченным и бесконечно осциллирует в другой асимптотической области, так как разность в этой области положительна. Следовательно, это решение допустимо в качестве собственной функции и представляет несвязанное состояние. Спектр собственных значений непрерывный невырожденный.

Когда разность отрицательна в обеих асимптотических областях. Ограниченное решение, если оно

существует, обращается в нуль (эспоненциально) на обоих концах интервала и представляет связанное состояние. Но оно существует только при некоторых определенных дискретных значениях . Действительно, пусть есть решение, обращающееся в нуль при , а решение, обращающееся в нуль при соответственно их логарифмические производные в некоторой точке на оси х. Величина есть собственное значение в том и только в том случае, если равны (с точностью до постоянного фактора), т. е. если . Но, рассматриваемые как функции энергии есть монотонно убывающая функция, а -монотонно возрастающая функция (следствие 3). Они могут быть равны друг другу только при некоторых изолированных значениях е. Спектр дискретный и невырожденный.

Число собственных значений дискретного спектра существенно зависит от формы функции Оно может изменяться от 0 до бесконечности. Число дискретных собственных значений очевидно равно нулю, если функция всюду превосходит наименьшее из двух асимптотических значений. Вообще же можно показать (здесь мы это примем без доказательства), что число дискретных собственных значений оказывается порядка величины

где интегрирование распространено на ту область оси х, где . В частности, если этот интеграл расходится, число собственных значений дискретного спектра бесконечно.