ДОПОЛНЕНИЕ Б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФОРМУЛЫ
Раздел I. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА, ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА, КУЛОНОВСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Уравнение Лапласа и вырожденная гипергеометрическая функция
Уравнением Лапласа называется уравнение типа
(здесь 
— произвольные комплексные постоянные). Решение уравнения (1) можно искать в виде степенного ряда. Обычно вырожденной гипергеометрической функцией называется ряд вида
1) вполне определен для произвольных 
при 
целое 
2) сходится во всей комплексной плоскости 
3) является полиномом степени р (р целое 
), если 
имеет существенно особую точку на бесконечности, если 
4) удовлетворяет соотношению Куммера:
Нетрудно видеть, что если функции
существуют, то они являются двумя линейно независимыми решениями уравнения (1),
По методу Лапласа решения уравнения (1) могут быть также представлены в виде контурных интегралов. Если Г некоторый контур в комплексной
плоскости такой, что функция 
принимает одинаковые значения на его концах, то интеграл
является частным решением уравнения (1).
Предположим, что а не целое, 
целое 
Замкнутому контуру 
охватывающему точки 
(рис. 38), соответствует решение типа (4). По соглашению 
на той части контура, где 
изменяется вдоль действительной оси между 0 и 1 в направлении возрастающих 
. Это решение, будучи целой функцией 
пропорционально 
Рис. 38.
Рис. 39.
Коэффициент пропорциональности получается при разложении 
под знаком интеграла и применении формулы
(
— целое, у не целое).
Находим
Двум петлям 
обходящим точки 
и 
соответственно (рис. 39), отвечают два решения типа (4), нерегулярные в начале, именно
Условие сходимости интеграла есть
— аргумент бесконечной точки на петлях 
По соглашению
В конце петли 
и в начале петли 
При этих условиях
Асимптотические разложения решений 
и (они получаются методом скорейшего спуска):
