§ 4. Соотношения неопределенности Гейзенберга
Соотношения неопределенности для координаты и импульса следуют непосредственно из соотношений коммутации (7).
Покажем в самом общем случае, что если две наблюдаемые А, В удовлетворяют уравнению
то произведение их средних квадратичных отклонений всегда удовлетворяет неравенству
Доказательство по существу аналогично рассмотрению § IV. 8,
По определению
Введем наблюдаемые
тогда очевидно, что
и что
Допустим, что динамическое состояние системы представляется кет-вектором 
, нормированным на единицу, и применим неравенство Шварца к векторам 
Выделяя в 
эрмитову и антиэрмитову части (ср. уравнение (VII. 29))
можно выделить в 
вещественную и мнимую части
и переписать неравенство Шварца в виде т. е.
т. е.
что и требовалось доказать.
Чтобы произведение 
стало равным своему наименьшему значению 
необходимо с одной стороны, чтобы неравенство Шварца свелось к равенству, т. е. чтобы 
(с — произвольная постоянная), а с другой стороны, чтобы среднее значение 
было равно нулю, т. е.
откуда 
Резюмируя, находим, что неравенство (9) сводится к равенству в том и только в том случае, когда 
удовлетворяет уравнению
где 
суть произвольные вещественные постоянные.
Приложение этого результата к паре координата — импульс 
предшествующего параграфа дает соотношение неопределенности
причем равенство выполняется, если 
есть решение уравнения
(
— произвольные вещественные постоянные).
